1/87结构动力学教师：刘晶波助教：宝鑫清华大学土木工程系2016年秋2/87结构动力学第5章动力反应数值分析方法3/87主要内容：❑数值算法中的基本问题❑分段解析法❑中心差分法❑一般时域逐步积分法的构造❑Newmark —β法❑Wilson —θ法❑时域逐步积分算法的新发展❑结构非线性反应分析4/875.1数值算法中的基本问题5/875.1数值算法中的基本问题前面介绍了二种结构动力反应分析方法：时域分析方法—Duhamel 积分法，频域分析方法—Fourier 变换法。

●这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题。

当外荷载为解析函数时，采用这两种方法一般可以得到体系动力反应的解析解，当荷载变化复杂时无法得到解析解, 通过数值计算可以得到动力反应的数值解。

●这两种分析方法的特点是均基于叠加原理，要求结构体系是线弹性的，当外荷载较大时，结构反应可能进入物理非线性(弹塑性)，或结构位移较大时，结构可能进入几何非线性，这时叠加原理将不再适用。

此时可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。

6/875.1 数值算法中的基本问题时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法：（1）分段解析法；（2）中心差分法；（3）平均加速度法；（4）线性加速度法；（5）Newmark －β法；（6）Wilson －θ法；（7）Houbolt 法；（8）广义α法；•••••••••时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。

7/875.1 数值算法中的基本问题采用叠加原理的时域和频域分析方法（Duhamel 积分，Fourier 变换），假设结构在全部反应过程中都是线性的，而时域逐步积分法，只假设在一个时间步距内是线性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。

时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移和速度为：而这种离散化正符合计算机存贮的特点。

与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足，这相当于放松了对运动变量的约束。

(),(),1,2,i i i i u u t uu t i === 8/875.1 数值算法中的基本问题采用等时间步长离散时，t i =i ∆t ，i =1, 2, 3,…。

体系的运动微分方程仅要求在离散时间点上满足。

∆t ——离散时间步长离散的定义？9/875.1 数值算法中的基本问题一种逐步积分法的优劣，主要由以下四个方面判断：收敛性：当Δt →0时，数值解是否收敛于精确解； 计算精度：截断误差与时间步长Δt 的关系，若误差ε∝O(Δt n )，则称方法具有n 阶精度； 稳定性：随时间步数i 的增大，数值解是否变得无穷大（远离精确解）；计算效率：数值计算中所花费的计算时间的多少。

一个好的方法首先必须是收敛的、有足够的精度(例如2阶精度，满足工程要求)、良好的稳定性、较高的计算效率。

在发展逐步积分法中，也的确发展了一些高精度但很费时的方法，在实际中得不到应用和推广。

10/875.1 数值算法中的基本问题根据是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可分为两大类：隐式方法：逐步积分计算公式是耦联的方程组，需联立求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正比，例如Newmark -β法、Wilson -θ法。

显式方法：逐步积分计算公式是解耦的方程组，无需联立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如中心差分方法(无阻尼时)。

下面先介绍分段解析算法，然后重点介绍两种常用的时域逐步积分法—中心差分法和Newmark -β法，同时也介绍Wilson -θ法，最后介绍非线性问题分析方法。

11/875.2分段解析法(Piecewise Exact Method)12/875.2分段解析法分段解析算法假设在t i ≤t ≤t i+1时段内分段解析法对外荷载的离散1()()/i i i i i ip p p p t τατα+=+=-∆ptp ip i +1△t iτ插值荷载：p (τ)实际荷载t i t i +1如果荷载p (t )采用计算机采样，即离散数值采样，则以上定义可认为是“精确”的。

13/875.2 分段解析法在t i ≤t ≤t i+1时段内体系的运动方程：初值条件：运动方程的特解:运动方程的通解:ταττττi i p p ku u c um +==++)()()()( 0(),()i i u u uuττττ==== ckp k u i i i p 2)(1)(ατατ-+=)sin cos ()(τωτωττζωD D c B A eu n +=-pt14/875.2 分段解析法将全解代入边界(初始)条件确定系数A 、B ，最后得：其中，τωτωτττζωτζωD D n n e A e A A A u sin cos )(3210--+++=012032121,,,[]i i i i i n n D p A A A u A A u A A k k kζααζωωω=-==-=+- τωζωωτωζωωττζωτζωD n D D n D n n e A A e A A A usin )(cos )()(32231--+--+= ()()()p c u u u τττ=+15/875.2 分段解析法当τ=∆t i 时，得到其中系数A —D '是结构刚度k ，自振频率ωn ，阻尼比ζ和时间步长∆t 的函数。

上式给出了分段解析法根据i 时刻运动及外力计算i +1时刻运动的递推计算公式。

✦如果结构是线性的，并采用等时间步长，则A —D '均为常数，其计算效率非常高，在p (t )为离散采样的定义下是精确解。

✦如果是非线性问题，则A —D '均为变量，计算效率会大为降低。

1111++++'+'+'+'=+++=i i i i i i i i i i p D p C u B u A uDp Cp uB Au u pt16/875.2 分段解析法分段解析法计算公式中的系数⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆-=∆-t t e A D D t ωωζζζωcos sin 12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=∆-t e B D D t ωωζωsin 1⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∆-+∆=∆-t t t t e t k C D n D D t n ωωζωζζωζωζζωcos 21sin 1212122 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+∆∆-+∆-=∆-t t t t e t k D D n D D t n ωωζωωζωζζωcos 2sin 122112 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆--='∆-t e A D nt ωζωζωsin 12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆--∆='∆-t t e B D D t ωζζωζωsin 1cos 2⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆∆+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∆+-+∆-='∆-t tt t e tk C D D n t ωωζζζωζωcos 1sin 111122⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆--∆='∆-t t e t k D D D t ωωζζζωcos sin 11121111i i i i i i i i i i u Au BuCp Dp uA uB uC pD p ++++=+++''=+''++17/875.2 分段解析法分段解析法的误差仅来自对外荷载的假设，而在连续时间轴上严格满足运动微分方程。

一般的时域逐步积分法将进一步放松要求，仅要求在离散的时间点上满足运动方程，即放松了对运动的约束。

18/875.3中心差分法(Central Difference Method)19/875.3中心差分法中心差分方法用有限差分代替位移对时间的求导(即速度和加速度)。

如果采用等步长，∆t i =∆t ，则i 时刻速度和加速度的中心差分近似为：tu u ui i i ∆-=-+211 2112t u u u ui i i i ∆+-=-+ ii i i i i i p ku tu u ctu u u m=+∆-+∆+--+-+2211211)()()()(i i i i t p t ku t u c t u m =++ )()()()(i i i i i i i i t p p t u u t u u t u u ==== 11222222i i ii m c m mc u p k u u t t t tt +-⎫⎫⎫⎛⎛⎛+=---- ⎪ ⎪ ⎪∆∆∆∆∆⎝⎝⎝⎭⎭⎭20/875.3 中心差分法多自由度体系的中心差分法逐步计算公式为：11222222i i ii m c m mc u p k u u t t t t t +-⎫⎫⎫⎛⎛⎛+=---- ⎪ ⎪ ⎪∆∆∆∆∆⎝⎝⎝⎭⎭⎭{}{}{}{}{}{}{}{}()()()()i ii i i i i iu u t u u t u u t p p t ==== {}{}{}(){}{}{}{}()112111212i i i i i i i u u u tuu u u t+-+-=-∆=-+∆ [][]{}{}[][]{}[][]{}212211122112i i i i M C u t t p K M u M C u t t t +-⎫⎛+ ⎪∆∆⎝⎭⎫⎫⎛⎛=---- ⎪ ⎪∆∆∆⎝⎝⎭⎭21/875.3 中心差分法单步法和多步法的概念单步法：采用时域逐步积分法计算某一时刻的运动时，仅需已知前一时刻的运动。

多步法：需要前两个或两个以上时刻的运动。

中心差分法在计算t i+1时刻的运动u i +1时，需要已知t i 和t i -1两个时刻的运动u i 和u i -1，因此，中心差分法属于两步法；而分段解析法仅需要已知t i 时刻的运动，因此为单步法。

11222222i i i i m c m mc u p k u u t t t t t +-⎫⎫⎫⎛⎛⎛+=---- ⎪ ⎪ ⎪∆∆∆∆∆⎝⎝⎝⎭⎭⎭1111++++'+'+'+'=+++=i i i i i i i i i i p D p C u B u A uDp Cp uB Au u 22/875.3 中心差分法时域逐步积分法计算中起步的概念用两步法进行计算时存在起步问题，因为仅根据已知的初始位移和速度，并不能自动进行运算，而必需给出两个相邻时刻的位移值，方可开始逐步计算。

在初始时刻需要建立两个起步时刻(即i ＝0, -1)的位移值，这即是逐步积分的起步问题。