第一章 函数与极限
第一节
• • • • • 一、基本概念 二、函数概念 三、函数的特性 四、反函数 五、小结
函数
一、基本概念
总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素 a∈ M, a∉ M,
y
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x1
恒有
f ( x1 ) > f ( x2 ),
o
x2
则称函数 f ( x )在区间 I上 是单调减少的 ;
I
x
3．函数的奇偶性: 函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于∀x ∈ D, 有
f (− x ) = f ( x )
y
y = f ( x)
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
思考题
1 设 ∀x > 0 ， 函 数 值 f ( ) = x + 1 + x ， 求 函 数 x
前言
高等数学》 《高等数学》是研究变量及变量间依赖关系的 一门数学课程。 一门数学课程。它的内容包括一元及多元函数微 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 高等数学》共讲授192学时，共计12 192学时 12学分 《高等数学》共讲授192学时，共计12学分 高等数学》的研究方法主要应用极限法。 《高等数学》的研究方法主要应用极限法。
A = {a1 , a2 ,L, an }
有限集
M = { x x所具有的特征 } 无限集
若 x ∈ A , 则必 x ∈ B , 就说 A 是 B 的子集 . 记作 A ⊂ B .
数集分类: 数集分类:
N----自然数集 ----自然数集 Q----有理数集 ----有理数集
Z----整数集 ----整数集 R----实数集 ----实数集
通常说周期函数的周期是指其最小正周期 周期） （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
−
3l 2
−
l 2
l 2
3l 2
四、反函数
y
y
函数 y = f (x)
反函数 x = ϕ( y )
y0
y0
W
o
x0
x
W
o
x0
x
D
D
y
反函数 y = ϕ ( x )
Q ( b, a ) P (a , b)
直接函数 y = f ( x )
因变量
数集D 叫做这个函数的定义域 数集D 叫做这个函数的定义域 自变量
当 x 0 ∈ D 时 , 称 f ( x 0 )为函数在点 x 0 处的函数值 .
函数值全体组成的数集 W = { y y = f ( x ), x ∈ D } 称为函数的值域 .
函数的两要素: 函数的两要素:
定义域与对应法则. 定义域与对应法则.
x (
(
D
x0 )
f ( x0 )
对应法则f
自变量
W
y
)
因变量
约定: 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切 实数值. 实数值.
例如， 例如， y = 1 − x 2
D : [−1,1]
D : ( −1,1)
例如， 例如， y =
1 1− x
2
如果自变量在定义域 内任取一个数值时， 内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个， 的函数值总是只有一个， 这种函数叫做单值函数， 这种函数叫做单值函数， 否则叫与多值函数． 否则叫与多值函数．
U ( a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
当不必强调指出邻域和去心邻域的半径时, 将邻域 注意 当不必强调指出邻域和去心邻域的半径时, 将邻域和 去心邻域简记为 U (a ) 和 U (a ) .
o
o
o
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量 常量, 4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量与变量 而数值变化的量称为变量 变量. 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量是相对“过程”而言的.
注意： 注意 奇函数的图形关于 原点对称
奇函数
4．函数的周期性: 函数的周期性:
设函数 f ( x )的定义域为 D , 如果存在一个不为零的
数l , 使得对于任一 x ∈ D, ( x ± l ) ∈ D. 且 f ( x + l ) = f ( x )
恒成立. 则称f ( x )为周期函数 , l称为f ( x )的周期.
则称函数 f ( x ) 在 X 上有界 .否则称无界 .
y M y=f(x) o -M x
有界 X
y
M
x0
o -M X
无界
x
2．函数的单调性: 函数的单调性:
设函数 f ( x )的定义域为 D , 区间I ∈ D ,
y
y = f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
x1
如果对于区间 I 上
例如， 例如， x 2 + y 2 = a 2．
y
W
y
⋅( x, y )
x
o
x
定义: 点集 C = {( x , y ) y = f ( x ), x ∈ D} 称为 定义:
D
函数y = f ( x )的图形.
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 y = sgn x = 0 − 1 当x > 0 当x = 0 当x < 0
{ x x ∈ R , x 2 + 1 = 0} = ∅
空集为任何集合的子集. 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个 区间 实数叫做区间的端点. 实数叫做区间的端点. ∀ a , b ∈ R , 且a < b .
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式:
x ≤ a ( a > 0 ) ⇔ − a ≤ x ≤ a; x ≥ a (a > 0) ⇔ x ≥ a 或 x ≤ − a;
二、函数概念
例1 考虑圆面积 A 与它的半径 r 之间的相依关系
A = π r2 r ∈ (0,+∞ )
r在( 0,+∞ ) 内每取定一数值，变量 A 通过上面等式有一 内每取定一数值，
有限区间 无限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
( −∞ , b ) = { x x < b}
o
a
o
x
b
x
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度) 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间 的长度. 的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设 a 与 δ 是两个实数 邻域
1 0 ≤ x + 3 ≤ 1 1 − 3 ≤ x ≤ −2 ∴ f ( x + 3) = = − 2 1 < x + 3 ≤ 2 − 2 − 2 < x ≤ −1
故
D : [−3,−1]
f
三、函数的特性
1．函数的有界性: 函数的有界性:
若X ⊂ D, ∃M > 0, ∀x ∈ X , 有 f ( x ) ≤ M 成立,
1 o -1 x y
x = sgn x ⋅ x
(2)
取整函数 y = [ x ]
1
y
4 3 2 3 4x
y = [ x ] 表示不超过
x 的最大整数
例如
5 7 =
0
[1.7] = 1
[2] = 2
[− 1] = − 1 [− 3.5] = − 4
2 o -4 -3 -2 -1 -1 1 5 -2 -3 -4
确定的数值与其对应。 的数值与其对应。
例2
考虑自由落体运动。 考虑自由落体运动。设物体下落时间为 t ，落下的距离为
s . 假设开始下落时 t = 0, 则 s 与 t 的相依关系为 1 2 s = gt t ∈ [0, T ] 2 假设落地所需时间为 T . 内每取一数值， 则 t 在 [0, T ]内每取一数值，由上式就可确定下落距离 s
数集间的关系: 数集间的关系:
A = {1,2},
N ⊂ Z , Z ⊂ Q , Q ⊂ R.
等 . ( A = B )
例如
C = { x x 2 − 3 x + 2 = 0},
则 A = C.
不含任何元素的集合称为空集. 不含任何元素的集合称为空集. ( 记作 ∅ ) 空集 例如, 例如, 规定
o
x
直接函数与反函数的图形关于直线
y = x 对称. 对称.
反函数的特点
1.反函数是相互称呼的； 1.反函数是相互称呼的； 反函数是相互称呼的 2.互为反函数的两个函数的图形关于直线 y = x 对称 ; 2.互为反函数的两个函数的图形关于 3.直接函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域； 3.直接函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域； 直接函数的定义域 4.单值、单调函数的反函数也是单值、单调函数， 4.单值、单调函数的反函数也是单值、单调函数，并且具 单值 有相同的单调性。 有相同的单调性。
阶梯曲线
(3)
狄利克雷函数