2020年四川省成都市双流区中考数学二诊试卷一、选择题1．2的相反数是（）A．B．C．﹣2D．22．如图，已知直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．120°3．下列计算正确的是（）A．x3﹣x2＝x B．x2•x 3＝x6C．x6÷x3＝x2D．（x3）2＝x6 4．下列四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．2019年，双流区共实施省、市、区民生实事项目107个，财政资金执行4.8亿元，真正做到了把为人民造福的事情办好落实．用科学记数法表示4.8亿元为（）A．4.8×108元B．4.8×109元C．48×108元D．48×107元6．如图，所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．7．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.3环，方差分别为s甲2＝0.54，s乙2＝0.62，s丙2＝0.56，s丁2＝0.45，则成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，若DE＝5，则BC＝（）A．6B．8C．10D．129．将抛物线y＝3x2向右平移3个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3x2+3B．y＝3（x﹣3）2C．y＝3x2﹣3D．y＝3（x+3）2 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结OD，AD．以下结论：①∠ADB＝90°；②D是BC的中点；③AD是∠BAC的平分线；④OD∥AC，其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（每小题4分，共l6分）11．比较大小：﹣32（填“＞，＜或＝”符号）．12．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AB＝DE，AC＝DF．若∠B＝47°，则∠E 的度数是．13．已知在正比例函数y＝﹣2mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则点P（m，4）在第象限．14．如图，在菱形ABCD中，AB＝，M，N分别是BC，CD的中点，P是对角线BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是．三、解答题：（本大题共6个小题，共54分）15．（1）计算：（﹣1）2019+（）﹣1﹣（sin58°﹣）0+|﹣2sin60°|；（2）解方程组：．16．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣2+．17．小明尝试用自己所学的知识检测车速，如图，他将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P处．一辆轿车匀速直线行驶过程中，小明测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，并测得∠APO＝59°，∠BPO＝45°．根据以上的测量数据，请求出该轿车在这4秒内的行驶速度．（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）18．小明设计了一个摸球实验：在一个不透明的箱子里放入4个相同的小球，球上分别标有数字0，10，20和30，然后从箱子里先后摸出两个小球（第一次摸出后不放回）．（1）摸出的两个小球上所标的数字之和至少为，最多为；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的概率．19．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（6，a）．（1）求反比例函数的表达式；（2）已知点C（b，4）在反比例函数y＝的图象上，点P在x轴上，若△AOC的面积等于△AOP的面积的两倍，请求出点P的坐标．20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠A＝，点O是线段AC上一动点（不与点A，点C重合），以OC为半径的⊙O与线段BC的另一个交点为D，作DE⊥AB于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O与AB相切于点F时，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，连接OB交DE于点M，点G在线段EF上，连接GO．若∠GOM＝45°，求DM和FG的长．一、填空题：（每小题4分，共20分）B卷（共50分）21．在平面直角坐标系中，已知点P1（a﹣1，6）和P2（3，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2020的值为．22．为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼条．23．若关于x的一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的两个实数根为x1和x2，则+＝．24．已知直线y＝kx+2与y轴交于点A，与双曲线y＝相交于B，C两点，若AB＝3AC，则k的值为．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，且点D到BC的距离等于点D到AC的距离．将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′，CC′．若＝，则的值为．二、解答题：（本大题共3个小题，共30分）26．某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用．（1）请写出该宾馆每天入住的客房数y（间）与每间客房涨价x（元）（x为10的倍数）满足的函数关系式；（2）请求出该宾馆一天的最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？27．已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝6．（1）如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，过点Q作QH ⊥BC，交BC的延长线于H．求证：△ADP≌△HCQ；（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为P，过点B作BC的垂线交抛物线于点D．（1）若点P的坐标为（﹣4，﹣1），点C的坐标为（0，3），求抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，求点A到直线BD的距离；（3）连接DC，若点P的坐标为（﹣，﹣），DC∥x轴，则在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使∠AMB＝∠BDC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求答案涂在答题卡上）1．2的相反数是（）A．B．C．﹣2D．2【分析】根据相反数的概念解答即可．解：2的相反数是﹣2，故选：C．2．如图，已知直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．120°【分析】直接利用平行线的性质得出∠2的度数．解：∵直线a∥b，∠1＝60°，∴∠2＝60°．故选：C．3．下列计算正确的是（）A．x3﹣x2＝x B．x2•x 3＝x6C．x6÷x3＝x2D．（x3）2＝x6【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘法运算法则逐一判断即可．解：A．x3与x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．x2•x 3＝x5，故本选项不合题意；C．x6÷x3＝x3，故本选项不合题意；D．（x3）2＝x6，故本选项符合题意．故选：D．4．下列四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．故选：B．5．2019年，双流区共实施省、市、区民生实事项目107个，财政资金执行4.8亿元，真正做到了把为人民造福的事情办好落实．用科学记数法表示4.8亿元为（）A．4.8×108元B．4.8×109元C．48×108元D．48×107元【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：将4.8亿元＝480000000元用科学记数法表示为：4.8×108元．故选：A．6．如图，所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形解答即可．解：从几何体的正面可以看到D中的图形，故选：D．7．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.3环，方差分别为s甲2＝0.54，s乙2＝0.62，s丙2＝0.56，s丁2＝0.45，则成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可．解：∵s甲2＝0.54，s乙2＝0.62，s丙2＝0.56，s丁2＝0.45∴s丁2＜s甲2＜s丙2＜s乙2，∴成绩最稳定的是丁．故选：D．8．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，若DE＝5，则BC＝（）A．6B．8C．10D．12【分析】根据三角形中位线定理解答．解：∵D，E分别是AB，AC上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝10，故选：C．9．将抛物线y＝3x2向右平移3个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3x2+3B．y＝3（x﹣3）2C．y＝3x2﹣3D．y＝3（x+3）2【分析】根据左加右减规律可得答案．解：抛物线y＝3x2向右平移3个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣3）2，故选：B．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结OD，AD．以下结论：①∠ADB＝90°；②D是BC的中点；③AD是∠BAC的平分线；④OD∥AC，其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由AB＝AC，得到∠B＝∠C，由于AB为⊙O的直径，得到AD⊥BC，根据相似三角形的性质得到①②③正确，由于OB＝OD，于是得到∠B＝∠ODB，根据同位角相等，两直线平行即可得到④正确．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∴D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，∴①②③正确，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴④正确，故选：D．二、填空题：（每小题4分，共l6分）11．比较大小：﹣3＜2（填“＞，＜或＝”符号）．【分析】本题是基础题，考查了实数大小的比较．正数大于负数．解：有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数，所以﹣3＜2．12．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AB＝DE，AC＝DF．若∠B＝47°，则∠E 的度数是47°．【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得∠E＝∠B＝47°．解：∵AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠E＝∠B＝47°，故答案为：47°．13．已知在正比例函数y＝﹣2mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则点P（m，4）在第二象限．【分析】先根据正比例函数y＝﹣2mx中，函数y的值随x值的增大而增大判断出﹣2m 的符号，求出m的取值范围即可判断出P点所在象限．解：∵正比例函数y＝﹣2mx中，函数y的值随x值的增大而增大，∴﹣2m＞0，解得m＜0，∴点P（m，4）在第二象限．故答案为：二．14．如图，在菱形ABCD中，AB＝，M，N分别是BC，CD的中点，P是对角线BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是．【分析】作M关于BD的对称点E，连接NE，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小．解：如图，作ME⊥BD交AB于E，连接EN，与BD交于点P'，当P与P'重合时，则EN就是PM+PN的最小值，∵M、N分别是BC、CD的中点，∴CN＝BM＝CM，∵ME⊥BD交AB于E，∴BE＝BM，∴BE＝CN，BE∥CN，∴四边形BCNE是平行四边形，∴EN＝BC＝AB＝，故答案为：．三、解答题：（本大题共6个小题，共54分）15．（1）计算：（﹣1）2019+（）﹣1﹣（sin58°﹣）0+|﹣2sin60°|；（2）解方程组：．【分析】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．解：（1）原式＝﹣1+2﹣1+0＝0；（2），②×3﹣①×2，得5y＝10，解得：y＝2，把y＝2代入①得：x＝1，∴方程组的解为．16．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣2+．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．解：原式＝[﹣]÷＝•＝将x＝﹣2+代入上式，则＝＝＝．17．小明尝试用自己所学的知识检测车速，如图，他将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P处．一辆轿车匀速直线行驶过程中，小明测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，并测得∠APO＝59°，∠BPO＝45°．根据以上的测量数据，请求出该轿车在这4秒内的行驶速度．（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）【分析】根据已知和特殊角的三角函数值求得OA，OB的长，从而得出AB的长，再根据测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，求出轿车的速度，即可得出答案．解：在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，PO＝0.1∴BO＝PO＝0.1A，在Rt△AOP中，∠APO＝59°，PO＝0.1，∴AO＝PO•tan59°≈0.1×1.66＝0.166，∴AB＝AO﹣BO＝0.166﹣0.1＝0.066，∴0.066÷＝59.4，答：该轿车在这4秒内的行驶速度为每小时59.4千米．18．小明设计了一个摸球实验：在一个不透明的箱子里放入4个相同的小球，球上分别标有数字0，10，20和30，然后从箱子里先后摸出两个小球（第一次摸出后不放回）．（1）摸出的两个小球上所标的数字之和至少为10，最多为50；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的概率．【分析】（1）当摸出的两个小球上所标的数字分别为0和10时，它们的和最小；当摸出的两个小球上所标的数字分别为30和20时，它们的和最大；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）摸出的两个小球上所标的数字之和至少为0+10＝10，最多为30+20＝50；故答案为10，50；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的结果数为8，所以摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的概率＝＝．19．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（6，a）．（1）求反比例函数的表达式；（2）已知点C（b，4）在反比例函数y＝的图象上，点P在x轴上，若△AOC的面积等于△AOP的面积的两倍，请求出点P的坐标．【分析】（1）先求出a的值，再根据待定系数法就可以求出函数的解析式；（2）分别过点C，A作CD⊥x轴，AE⊥x轴，垂足分别为点D，E，根据曲线求得C 的坐标，进而求出△OAE、△AOC的面积，再根据△AOC的面积等于△AOP的面积的两倍，结合三角形的面积公式解答即可．解：（1）∵点A（6，a）在正比例函数y＝x的图象上，∴a＝×6＝2，∵点A（6，2）在反比例函数y＝的图象上，∴2＝，∴k＝12，∴反比例函数的表达式为y＝．（2）分别过点C，A作CD⊥x轴，AE⊥x轴，垂足分别为点D，E．∵点C（b，4）在反比例函数y＝的图象上，∴4＝，b＝3，即点C的坐标为（3，4），∵点A，C都在反比例函数y＝的图象上，∴S△OAE＝S△COD＝×12＝6，∴S△AOC＝S四边形COEA﹣S△OAE＝S四边形COEA﹣S△COD＝S梯形CDEA，∴S△AOC＝×（CD+AE）•DE＝×（4+2）×（6﹣3）＝9，∵△AOC的面积等于△AOP的面积的两倍，∴S△AOP＝S△AOC＝，设点P的坐标为（m，0），则S△AOP＝×2•|m|＝，∴m＝±，∴点P的坐标为（，0）或（﹣，0）．20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠A＝，点O是线段AC上一动点（不与点A，点C重合），以OC为半径的⊙O与线段BC的另一个交点为D，作DE⊥AB于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O与AB相切于点F时，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，连接OB交DE于点M，点G在线段EF上，连接GO．若∠GOM＝45°，求DM和FG的长．【分析】（1）先由OC＝OD，得出∠DCO＝∠CDO，再由AB＝AC，得出∠ABC＝∠ACB，进而判断出OD∥AB，即可得出结论；（2）先用三角函数表示层AF＝r，AO＝r，进而用AO＝AC﹣OC＝10﹣r，建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出△BEM∽△ODM，得出＝，进而求出DM＝，再判断出△OFT ≌△ODM，得出∠FOT＝∠BOD，OT＝OM，再用等式的性质得出∠GOT＝∠GOM，进而判断出△OGT≌△OGM，进而表示出EG＝﹣a，GM＝+a，最好用勾股定理建立方程求解借口得出结论．解：（1）证明：如图1，连接OD∵OC，OD均为⊙O的半径，∴OC＝OD，∴∠DCO＝∠CDO，又∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠CDO，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：如图2，连接OF，设⊙O的半径为r，则OF＝r，OC＝r，∵⊙O与AB相切于点F，∴AB⊥OF，∴∠OFA＝90°，在Rt△AOF中，∠OFA＝90°，OF＝r，tan∠A＝，∴AF＝r，∴AO＝r，又∵AO＝AC﹣OC＝10﹣r，∴r＝10﹣r，∴r＝．（3）解：如图3，由（2）知r＝，∴AF＝r＝，∵∠ODE＝∠DEF＝∠OFE＝90°，∴四边形ODEF是矩形∵OF＝OD，∴矩形ODEF是正方形，∴DE＝EF＝OF＝，∴BE＝AB﹣AF﹣EF＝10﹣﹣＝，∵∠BME＝∠OMD，∠BEM＝∠ODM＝90°，∴△BEM∽△ODM，∴＝，解得DM＝，在EF延长线上截取FT＝DM，∵四边形ODEF是正方形，∴∠OFT＝∠ODM＝90°，OF＝OD，∴△OFT≌△ODM（AAS），∴∠FOT＝∠BOD，OT＝OM，∵∠DOF＝90°，∠GOM＝45°，∴∠GOF+∠BOD＝45°，∴∠GOF+∠FOT＝45°，即∠GOT＝45°，∴∠GOT＝∠GOM，又OG＝OG，∴△OGT≌△OGM（SAS），∴GM＝GT＝GF+FT＝GF+DM，设GF＝a，则EG＝﹣a，GM＝+a，∵EM＝DE﹣DM＝﹣＝，在Rt△EMG中，EM2+EG2＝GM2，即（）2+（﹣a）2＝（+a）2，解得a＝，∴FG的长为．一、填空题：（每小题4分，共20分）B卷（共50分）21．在平面直角坐标系中，已知点P1（a﹣1，6）和P2（3，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2020的值为1．【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点可得a、b的值，然后可得答案．解：∵点P1（a﹣1，6）和P2（3，b﹣1）关于x轴对称，∴a﹣1＝3，b﹣1＝﹣6，解得：a＝4，b＝﹣5，∴（a+b）2020＝1，故答案为：1．22．为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼20 000条．【分析】捕捞200条，其中有标记的鱼有10条，即在样本中有标记的所占比例为，而在整体中有标记的共有1000条，根据所占比例即可解答．解：1000＝20 000（条）．故答案为：20000．23．若关于x的一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的两个实数根为x1和x2，则+＝﹣．【分析】根据一元二次方程的关系可得x1+x2＝﹣＝2；x1•x2＝；把+变形为即可得到答案．解：∵关于x的一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的两个实数根为x1和x2，∴x1+x2＝﹣＝2；x1•x2＝＝﹣，∴+＝＝＝﹣．故答案为：﹣．24．已知直线y＝kx+2与y轴交于点A，与双曲线y＝相交于B，C两点，若AB＝3AC，则k的值为1或﹣．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题：①当k＜0时，如图1中，过点C作CH ⊥OA于H，过点B作BF⊥OA于F．设C（m，），利用平行线分线段成比例定理构建方程求出m即可解决问题．②当k＞0时，如图2中，过点C作CH⊥OA于H，过点B作BF⊥OA于F．设C（m，），方法类似①．解：①当k＜0时，如图1中，过点C作CH⊥OA于H，过点B作BF⊥OA于F．设C （m，），∵CH∥BF，∴＝＝＝，∵CH＝m，∴BF＝3m，AF＝3AH，∴B（3m，），∴2﹣＝3（2﹣），解得m＝2，∴C（2，），把点C（2，）代入y＝kx+2，得到k＝﹣．②当k＞0时，如图2中，过点C作CH⊥OA于H，过点B作BF⊥OA于F．设C（m，），∵CH∥BF，∴＝＝＝，∵CH＝m，∴BF＝3m，AF＝3AH，∴B（﹣3m，﹣），∴2+＝3（﹣2），解得m＝1，∴C（1，3），把点C（1，3）代入y＝kx+2，得到k＝1，综上所述，满足条件的k的值为1或﹣．故答案为1或﹣．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，且点D到BC的距离等于点D到AC的距离．将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′，CC′．若＝，则的值为．【分析】连结DC、DC′，过点D作DE⊥BC于点E，如图，根据旋转的性质得DB＝DB′，DC＝DC′，∠BDB′＝∠CDC′，则可证明△DBB′∽△DCC′，根据相似三角形的性质得，则可设DC＝3x，BD＝5x，然后利用等腰直角三角形的性质得DE＝3x，接着利用勾股定理计算出BE＝4x，则可求出答案．解：连结DC、DC′，过点D作DE⊥BC于点E，如图，∵△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，∴DB＝DB′，DC＝DC′，∠BDB′＝∠CDC′，即，∴△DBB′∽△DCC′，∴，设DC＝3x，BD＝5x，∵点D到BC的距离等于点D到AC的距离，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∴DE＝3x，在Rt△BDE中，BE＝＝＝4x，∴tan B＝，即．故答案为：．二、解答题：（本大题共3个小题，共30分）26．某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用．（1）请写出该宾馆每天入住的客房数y（间）与每间客房涨价x（元）（x为10的倍数）满足的函数关系式；（2）请求出该宾馆一天的最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？【分析】（1）根据题意，可以写出该宾馆每天入住的客房数y（间）与每间客房涨价x （元）（x为10的倍数）满足的函数关系式；（2）根据题意，设利润为w元，然后即可得到w与x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可得到w的最大值，本题得以解决．解：（1）由题意得y＝90﹣×5＝x+90，即该宾馆每天入住的客房数y（间）与每间客房涨价x（元）（x为10的倍数）满足的函数关系式是y＝x+90；（2）设每天利润为w元，得w＝（﹣x+90）（140+x﹣60）＝﹣x2+50x+7200＝﹣（x﹣50）2+8450，∴当x＝50时，w取得最大值8450，此时，每间房的定价为190元，答：该宾馆一天的最大利润为8450元，此时客房的定价为每间190元．27．已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝6．（1）如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，过点Q作QH ⊥BC，交BC的延长线于H．求证：△ADP≌△HCQ；（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADP＝∠QCH，利用AAS定理证明△ADP≌△HCQ；（2）作QH⊥BC，交BC的延长线于H，设PQ与DC相交于点G，证明△DPG∽△CQG，得到＝＝，求出BH的长，得到答案；（3）作QH∥DC，交CB的延长线于H，作CK⊥CD，交QH的延长线于K，证明△ADP ∽△BHQ，得到BH＝2n+2，求出CH，根据等腰直角三角形的性质得到CK＝（n+4），得到答案．解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，∴∠ADP+∠PDC＝∠DCQ+∠QCH，∵四边形PCQD是平行四边形，∴PD∥CQ，PD＝CQ，∴∠PDC＝∠DCQ，∴∠ADP＝∠QCH，在△ADP和△HCQ中，，∴△ADP≌△HCQ（AAS）；（2）存在最小值，最小值为10，如图1，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，设PQ与DC相交于点G，∵PE∥CQ，∴△DPG∽△CQG，∴＝＝，由（1）可知，∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△QCH，∴＝＝，∴CH＝2AD＝4，∴BH＝BC+CH＝6+4＝10，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为10；（3）存在最小值，最小值为（n+4），如图2，作QH∥DC，交CB的延长线于H，作CK⊥CD，交QH的延长线于K，∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴＝＝，∵AD∥BC，∴∠ADP+∠DCH＝90°，∵CD∥QK，∴∠QHC+∠DCH＝180°，∴∠QHC＝∠ADQ，∵∠PAD+∠PAG＝∠QBH+∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG，∴∠PAD＝∠QBH，∴△ADP∽△BHQ，∴＝＝，∴BH＝2n+2，∴CH＝BC+BH＝6+2n+2＝2n+8，过点D作DM⊥BC于M，又∠DAB＝∠ABM＝90°，∴四边形ABMD是矩形，∴BM＝AD＝2，DM＝AB＝4，∴MC＝BC﹣BM＝6﹣2＝4＝DM，∴∠DCM＝45°，∴∠HCK＝45°，∴CK＝CH•cos45°＝（2n+8）＝（n+4），∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为（n+4）．28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为P，过点B作BC的垂线交抛物线于点D．（1）若点P的坐标为（﹣4，﹣1），点C的坐标为（0，3），求抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，求点A到直线BD的距离；（3）连接DC，若点P的坐标为（﹣，﹣），DC∥x轴，则在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使∠AMB＝∠BDC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点C的坐标为（0，3）代入抛物线的表达式即可；（2）令x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣2，x2＝﹣6，得A（﹣6，0），B（﹣2，0），OA ＝6，OB＝2，AB＝4，求出BC＝＝＝．作AF⊥BD于F，由∠ABF＝∠BCO，所以＝sin∠ABF＝sin∠BCO＝＝，求出AF＝AB ＝＝，即点A到直线BD的距离为；（3）作DH⊥x轴于H．设A（x1，0），B（x2，0），证明△DBH∽△BCO．得出＝，＝，推出c2＝x1x2，令ax2+bx+c＝0，则x1x2＝，c2＝，c＝．由P（﹣，﹣），可设抛物线的解析式为y＝a（x+）2﹣，解得a＝，所以抛物线的解析式y＝x2+x+2，易得A（﹣4，0），B（﹣1，0），C（0，2），AB ＝3，OB＝1，OC＝2，设经过A，B，M三点的圆的圆心为P，则AN＝BN＝，PA ＝PB＝PM，∠APN＝∠AMB＝∠BDC，由＝tan∠APN＝tan∠BCO＝＝，PA2＝．设M（m，y），其中y＝m2+m+2，则PM2＝（m+）2+（y﹣3）2，得到（m+）2+（y﹣3）2＝，解得y＝0（舍去）或y＝4．令x2+x+2＝4，解得x＝，从而求出点M的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+4）2﹣1把C（0，3）代入，得3＝a（0+4）2﹣1，a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x+4）2﹣1，即y＝x2+2x+3；（2）令x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣2，x2＝﹣6，∴A（﹣6，0），B（﹣2，0），∴OA＝6，OB＝2，AB＝4，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3，∴BC＝＝＝．作AF⊥BD于F，∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠ABF+∠CBO＝90°．∵∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABF＝∠BCO，∴＝sin∠ABF＝sin∠BCO＝＝，∴AF＝AB＝＝，即点A到直线BD的距离为；（3）作DH⊥x轴于H．设A（x1，0），B（x2，0），由抛物线的对称性可知AH＝BO，∴BH＝OH﹣OB＝OH﹣AH＝OA＝﹣x1∵DC∥x轴，∴DH＝CO＝c，∵DB⊥BC，∴△DBH∽△BCO．∴＝，∴＝，∴c2＝x1x2，令ax2+bx+c＝0，则x1x2＝，∴c2＝，∴c＝．由P（﹣，﹣），可设抛物线的解析式为y＝a（x+）2﹣，令x＝0，得c＝a﹣，∴a﹣＝，解得a＝﹣（舍去）或a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x+）2﹣，即y＝x2+x+2，易得A（﹣4，0），B（﹣1，0），C（0，2），AB＝3，OB＝1，OC＝2，设经过A，B，M三点的圆的圆心为P，连接PA，PB，PM，作PN⊥AB于N，则AN＝BN＝，PA＝PB＝PM，∠APN＝∠AMB＝∠BDC，∵DC∥x轴，∴∠BDC＝∠ABD＝∠BCO，∴∠APN＝∠BCO，∴＝tan∠APN＝tan∠BCO＝＝，∴PN＝2AN＝AB＝3，∴P（﹣，3），PA2＝．设M（m，y），其中y＝m2+m+2，则PM2＝（m+）2+（y﹣3）2，∴（m+）2+（y﹣3）2＝，m2+5m+4+y2﹣6y＝0，2y+y2﹣6y＝0，y2﹣4y＝0，解得y＝0（舍去）或y＝4．令x2+x+2＝4，解得x＝，∴M1（，4），M2（，4）．。