实变函数练习题一、选择题1.)0(=z z 的辐射角情况为( )。
A 有无穷多个B 有限个C 可能无穷可能有限D 不存在 2.如果21z z e e =则( )。
A 21z z =B i z z π221+=C i z z π221-=D i k z z π221+= 3.设}{k a 为复数列,k k k k z b z a Im ,Re ==,则( )。
A 级数∑+∞=1k k a 收敛而级数∑+∞=1k k b 不收敛B 级数∑+∞=1k k a 不收敛而级数∑+∞=1k k b 收敛C 级数∑+∞=1k k a 和∑+∞=1k k b 均收敛D 级数∑+∞=1k k a 和∑+∞=1k k b 均不收敛4.nz w =4的支点是( )。
A 0B ∞C 0及∞D 不确定5.设f (z)及g (z)都在区域D 内解析,且在D 内的某一段曲线上的值相同,则这两个函数在D 内( )。
A 不恒等B 恒等C 相差个非零常数D 不确定 6.方程1Re 2=z 所表示的平面曲线为( )。
A 园B 直线C 椭圆D 双曲线 7.设i z cos =,则( )。
A 0Im =zB π=z ReC 0=zD π=z arg 8.设W=Ln(1-I)则Imw 等于( )。
A 4π- B ,1,0,42±=-k k ππ C4πD ,1,0,42±=+k k ππ9.解析函数的幂级数展式有( )。
A 唯一一个B 无穷多个C 不一定存在D 可数个10.同一函数在不同的圆环内的洛朗展式( )。
A 相同B 不同C 不一定唯一D 以上均错 11.若a 是E 的聚点,则( )。
A E a ∈B E a ∉C a 是E 内点D A 、B 均对 12.设C 为正向圆周1=z ,则积分zdzc⎰等于( )。
A 0B i π2C π2D π2- 13.3π=z 是函数ππ--=z z z f 3)sin()(3的( )。
A 一阶极点B 可去奇点C 一阶零点D 本性奇点14.幂极数∑∞=+1)!2()!1(n nzn n 的收敛半径为( )。
A 0B 1C 2D ∞15.设积分路线C 是贴为z=-1到z=1的上半单位圆周,则dzzz c21+⎰等于( )。
A i π+2B i π-2C i π--2D i π+-216.已知∑∞==1)(n nCnZz f 解析K 为正整数则]0,)([Re kzz f S =( )。
A C KB K!C K C C K-1D 无法确定 17.方程2=+i z 表示( )。
A 以原点为心,以2为半径的圆B 以i 为圆心,以2为半径的圆C 以-i 为圆心,以2为半径的圆D 以上均不对 18.1sin )(99-z e z z f z在点Z 0=5处的Tay10r 级数的收敛半径为( )。
A 1B 2C 3D 4 19.沿正向圆周的积分⎰=-2121cos sin z dz z z z =( )。
A 1sin ,2i πB 0C 1sin i πD 以上都不对 20.下列映射中,把角形域4arg 0π<<z 保角映射成单位圆内部1<w 的为( )。
A 1144-+=z z w B 1144+-=z z w C iz i z w +-=44D iz i z w -+=44二、填空题1.实数的共轭是___________;纯虚数的共轭是___________。
2.设已给集合E.M 是复平面上一点,如果M 有一个r 领域完全属于E ,M 称为E 的___________;M 的任一r 领域内既有集E 的点,也有非E 的点,M 称为E 的( );M 有一个领域完全不属于E ,M 称为E 的___________。
3.指数函数f (z)=e z 在___________上解析。
4.指数函数322)1()1(sin )5()(+--=z z z z z z f 的奇点为___________,___________,___________。
5.我们把有二阶连续偏导数且满足拉普斯方程的函数称为___________。
6.级数)1(12=+++++z z z z n 的收敛半径为___________。
7.e z 在z=0的泰勒展式为___________。
8.已知ii i z ---=131则Re (z)=______________; Im(z)=__________;z z ∙=_________。
9.复数21的指数表示为:_____________,三角表示为:_____________。
10.w=z 2将z 平面上x 2-y 2=4映射成w 平面上怎样的曲线?_______________________。
11. 1ni=_____________,Lni=_____________。
12.令C 为连接点a 及b 的任意曲线则有⎰cdz =____________⎰czdz =______________。
13.若z z =,是z 是____________________。
14.若012=++x x 则=++37''x x x _______________。
15.设21;;z z z 为复数则=''z __________;=2z __________;=+21z z ____________;21z z =_____________。
16.若)]sin()[cos(Argz i Argz z z +=;则n z =______________ 。
17.shz=____________,chz=_____________。
18.(1+i)c =___________________。
19.设zz z f -+=11)(则Ref (z)=_____________;Imf(z)=________________。
20.设C 是连接原点0和1+i 的直线则⎰czdz Re =________________。
21.设D 是闭路C 所围成的单连通区域,在闭域C+D 上解析,则⎰cdz z f )(=_______。
22.若f(z)在z=0的邻域内连续则⎰→πθθ20)(lim d ref i r =________________。
23.设)52)(1(7)(2++-+=P P P P P F 则它的本函数为________________。
24.设C 是连接Z 及Z 。
两点的简单曲线那么⎰cdz =_________________。
25.3π=z 是函数ππ--=z z z f 3)3sin()(的_____________________________。
26.级数∑∞=⋅12)!(n nnz nn 的收敛半径_________________。
27.C 是1=z 的正向圆周;则⎰czdz cos =__________________。
28.在10<<z 内)1(12+z z 的罗朗级数为__________________。
29、若a <b ,则(a, b )的基数为 。
30、设)RpE ⊂(mE <∞),f(x)>0a. e.于E ,又∫E f(x)dx=0,则mE= 。
31、若An={x;0≤x <1+1/n}n=1、2、3…,则=⋂∞=An n 1。
32、设E={(x,y );x ∈[0,1]∩Q,y=0}⊂R 2,则E ′= 。
33、点集E 为闭集的充要条件是 。
三、判断题1.复数都有无穷多个对数。
( ) 2.z sin 及z cos 是有界的。
( )3.解析函数有任意阶导数。
( )4.f (z)在域D 内解析,则它的实部及虚部是该区域内的调和函数。
( )5.在单位圆周1=Z 上,∑+∞=12n n nz 点点绝对收敛。
( )6.如果f (z)在z 0连续,那么f (z 0)存在。
( ) 7.如果f (z 0)存在。
那么f (z)在z 0解析。
( )8.如果u (x ; y)和γ (x ; y)可导,那么f (z)=u+i γ也可导。
项)9.每一个在z 0连续的函数一定可以z 0在的领域内展开Taylor 级数。
( ) 10.每一个幂级数收敛于一个解析函数。
( )11.若级数∑=ni k a 1绝对收敛,则级数∑=ni k a 1也收敛。
( )12.2121z z z z +=+( )13.212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z +=+( ) 14.级数+++++=-nzz z z2111收敛半径为1。
( )15.每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。
( )16、对于给定的集合A 、B 有(A-B )∪B=A 。
( ) 17、任何可数点集的外测度都是零。
( )18、如果f(x)是E 上的非负函数,∫E f(x)dx=0则f(x)=0 a. e.于E 。
( ) 19、当f(x)即是E 上又是F 上的非负可测函数时,f(x)也是E ∪F 上的非负可测函数。
( ) 四、计算题1.)2)((y i x y i x ---2. 2-2i (用指数式计算其辐角的一般值) 3.3)3(-+i (利用复数的三角式计算) 4.)1()1)(1(2≠⋅-+⎰=r z z z dz rz5.求变换13==z •z 在ω点的转动角。
6.求函数)2)(1(1--z z 分别在圆环21<<z 及+∞<<z 2内的洛朗级数展式7.计算留数22)1()(+=zz ez f iz8.将i z 212--=化为三角式和指数式 9.一个复数乘以i 他的模与幅角有何改变?10.证明复平面上圆的方程可写成0=+++c z z z z θθ)C 为实常数为复常数θ( 11.是否存在着在原点解析的函数f (z)满足条件: ),3,2,1(,21)21(,0)121(===-n nn f n f12.求方程012558=+--z z z 在1<z 内根的个数。
13.求积分⎰-iizdz e ππ32的值。
14.把311z+展开z 幂级数,并指出它的收敛半径。
15.计算积分⎰+idz z 302路线自原点到3+i 的直线段。
16、求⎰+1221dx nx Lim xn五、求下列各式的积分1.⎰-cdzz z14sin2π211:=+z c 2.dz z z z z z ⎰=--212)1(53.⎰=≠-rz nn r z dz ),1()1(为自然数4.求积分⎰>+=π201,sin a ta dt I5.求⎰-iizdz e ππ32的值。
六、证明题1.对于两复数z 1,z 2求证:z 1z 2=0的充要条件是z 1与 z 2中至少有一个为零。