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实变函数综合练习题

实变函数综合练习题《实变函数》综合训练题(一)(含解答)一、选择题(单选题)1、下列集合关系成立的是( A )(A )(\)A B B A B ⋃=⋃ (B )(\)A B B A ⋃= (C )(\)B A A A ⋃⊆ (D )(\)B A A ⊆ 2、若n E R ⊂是开集,则( B )(A )E E '⊂ (B )E 的内部E = (C )E E = (D )E E '= 3、设P 是康托集,则( C )(A )P 是可数集 (B )P 是开集 (C )0mP = (D )1mP = 4、设E 是1R 中的可测集,()x ϕ是E 上的简单函数,则( D ) (A )()x ϕ是E 上的连续函数 (B )()x ϕ是E 上的单调函数 (C )()x ϕ在E 上一定不L 可积 (D )()x ϕ是E 上的可测函数5、设E 是n R 中的可测集,()f x 为E 上的可测函数,若()d 0Ef x x =⎰,则( A )(A )在E 上,()f z 不一定恒为零 (B )在E 上,()0f z ≥ (C )在E 上,()0f z ≡ (D )在E 上,()0f z ≠ 二、多项选择题(每题至少有两个或两个以上的正确答案) 1、设E 是[0,1]中的无理点全体,则(C 、D )(A )E 是可数集 (B )E 是闭集 (C )E 中的每一点都是聚点 (D )0mE > 2、若1E R ⊂至少有一个内点,则( B 、D )(A )*m E 可以等于零 (B )*0m E >(C )E 可能是可数集 (D )E 是不可数集3、设[,]E a b ⊂是可测集,则E 的特征函数()E X x 是 (A 、B 、C ) (A )[,]a b 上的简单函数 (B )[,]a b 上的可测函数 (C )E 上的连续函数 (D )[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积,则( B 、D ) (A )()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积(B )()f z +和()f z -都在E 上L 可积(C )()f z 在E 上不一定L 可积 (D )()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数,则( A 、C 、D )(A )()f z 是[,]a b 的有界变差函数 (B )()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 (C )()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 (D )()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题(将正确的答案填在横线上)1、设X 为全集,A ,B 为X 的两个子集,则\A B=C A B ⋂ 。

2、设n E R ⊂,如果E 满足E E '⊂,则E 是 闭 集。

3、若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满足(,)G αβ⊂、,G Gαβ∉∉。

4、设A 是无限集,则A 的基数A≥ a (其中a 表示可数基数)。

5、设1E ,2E 为可测集,2mE <+∞,则12(\)m E E ≥12mE mE -。

6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E x f x a > 是 可测集 ,则称()f x 是可测集E 上的可测函数。

7、设0x 是1E R ⊂的内点,则*m E >0。

8、设函数列{()}n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()()()n f x f x x E ⇒∈,则由黎斯定理可得,存在{()}n f x 的子列{()}kn f x ,使得()kn f x ..a e →()()f x x E ∈。

9、设()f x 是E 上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分不一定存在,且()f x 在E 上 不一定 L 可积。

10、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 一定 是 [,]a b 上的有界变差函数。

四、判断题(正确的打“√”,错误的打“×”)1、可列(数)个闭集的并集仍为闭集。

( × )2、任何无限集均含有一个可数子集。

( √ )3、设E 是可测集,则一定存在G δ型集G ,使得E G ⊂,且(\)0m G E =。

( √ )4、设E 是零测集,()f z 是E 上的实函数,则()f x 不一定是E 上的可测函数。

( × )5、设()f z 是可测集E 上的非负可测函数,则()f x 必在E 上L 可积。

( × ) 五、简答题1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集?答:不一定为开集。

例如 取1R 上一列开集为11(1,1)n n--+,1,2,3,n =而111(1,1)[1,1]n n n∞=⋂--+=-是闭集,不是开集。

2、可测集E 上的可测函数与简单函数有何关系? 答:①简单函数是可测函数;②可测函数不一定是简单函数;③可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。

3、[,]a b 上的有界变差函数与单调函数有何关系? 答:①单调函数是有界变差函数;②有界变差函数不一定是单调函数,但一定可以表示成单调函数的和或差。

六、计算题1、设1[0,1]()0[0,1]x Q D x x Q∈⋂⎧=⎨∉⋂⎩,其中Q 是有理数集,求[0,1]()d D x x ⎰。

解: 因为{[0,1]}0m Q ⋂=,所以()0..D x a e =于[0,1],于是[0,1][0,1]()00D x dx dx ==⎰⎰2、求0ln()limcos d xn x n e x x n+∞-→∞+⋅⎰。

解: 因为ln()ln(11)1)cos (1)x x xx x n x n x n e x e e x e n n n----++-+-+≤≤≤+ 而(1)x x e dx +∞-+<+∞⎰所以,由L 控制收敛定理00ln()ln()lim cos d lim cos d 0d 0x xn n x n x n e x x e x x x n n +∞+∞+∞--→∞→∞++⋅=⋅==⎰⎰⎰七、证明题1、证明集合等式:()\(\)(\)A B C A C B C ⋃=⋃证明: (方法1)对任意()\x A B C ∈⋃,有()x A B ∈⋃且x C ∉,即x A ∈或x B ∈且x C ∉ 所以 \x A C ∈或\x B C ∈,即(\)(\)x A C B C ∈⋃。

反之,对任意(\)(\)x A C B C ∈⋃,有\x A C ∈或\x B C ∈,即x A ∈或x B ∈且x C ∉,所以()x A B ∈⋃且x C ∉,即()\x A B C ∈⋃, 综上所述,()\(\)(\)A B C A C B C ⋃=⋃。

(方法2)()\()()()(\)(\)cccA B C A B C A C B C A C B C ⋃=⋃⋂=⋂⋃⋂=⋃。

2、设0E 是[0,1]中的有理点全体,则0E 是可测集且00mE =。

证明: 因为0E 是可数集,则012{,,,,}n E r r r =对任意0ε>,取开区间11(,)22n n n n r r εε++-+,1,2,n =,显然它们把0E 覆盖住。

于是 *012nn m E εε∞=≤=∑。

让0ε→得,*00m E =,从而0E 是可测集且00mE =。

3、证明:1R 上的实值连续函数()f x 必为1R 上的可测函数。

证明:因为对于任意实数a ,由连续函数的局部保号性易知,1[()]R x f x a >是开集,从而1[()]R x f x a >是可测集。

所以()f x 必为1R 上的可测函数。

4、设()f x 是可测集1E R ⊂上的L 可积函数,{}n E 为E 的一列可测子集,mE <+∞,如果lim n n mE mE →∞=,则lim ()d ()d nn E Ef x x f x x →∞=⎰⎰。

证明:因为mE <+∞且n E E ⊂,所以(\)n n n mE m E E mE mE ==- 从而由题设 lim (\)lim 0n n n n m E E mE mE mE mE →∞→∞=-=-=又()f x 在1E R ⊂上的L 可积,且(\)()d ()d ()d ()d nn nnEE E E E E f x x f x x f x x f x x ⋃-=-⎰⎰⎰⎰\\()d ()d ()d ()d E E E E E E f x x f x x f x x f x x =+-=⎰⎰⎰⎰所以由积分的绝对连续性得\lim(()d ()d )lim ()d 0nnn n E EE E f x x f x x f x x →∞→∞-==⎰⎰⎰即lim ()d ()d nn E Ef x x f x x →∞=⎰⎰。

5、设()f x 是可测集1E R ⊂上的L 可积函数,{}n E 为E 中的一列递增可测子集,1lim ()d ()d nnn n E E f x x f x x ∞=→∞=⎰⎰。

证明:记()()()n n E f x f x x χ=⋅,其中1,()0,n nE n x E x x E χ∈⎧=⎨∉⎩显然在1n n E ∞=上,()()()()n n E f x f x x f x χ=⋅→,()()n f x f x ≤且1()()nnn n E E f x dx f x dx ∞==⎰⎰于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。

《实变函数》综合训练题(二)(含解答)一、选择题(单选题)1、下列集合关系成立的是( A )(A )()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ (B )(\)A B A ⋂=∅ (C )(\)B A A ⋂≠∅ (D )(\)B A A ⊆ 2、若n E R ⊂是闭集,则( B )(A )E 的内部E = (B )E E = (C )E E '⊂ (D )E E '= 3、设Q 是有理数集,则( C )(A )0mQ > (B )Q 是闭集 (C )0mQ = (D )Q 是不可数集 4、设()f x 为1R 上的连续函数,a 为任意实数,则( D )(A )1[()]R x f x a ≤是开集 (B )1[()]R x f x a ≥是开集(C )1[()]R x f x a >是闭集 (D )1[()]R x f x a >是开集5、 设E 是n R 中的可测集,()f x ,()g x 都是E 上的可测函数,若()()d 0Ef xg x x -=⎰,则( A )(A )()()..f z g x a e =于E (B )在E 上,()()f z g x = (C )在E 上,()()f z g x ≠ (D )在E 上,()()f z g x ≤ 二、多项选择题(每题至少有两个或两个以上的正确答案)1、设E 是[0,1]中的有理点全体,则(C 、D )(A )E 是闭集 (B )E 中的每一点都是内点 (C )E 是可数集 (D )0mE = 2、若1E R ⊂的外测度为零,则( B 、D )(A )E 一定是可数集 (B )E 一定是可测集 (C )E 不一定是可数集 (D )0mE =3、设()nmE E R <+∞⊂,函数列{()}n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列,()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数,若()()()n f x f x x E ⇒∈,则下列哪些结论不一定成立(A 、B 、C 、D )(A )()d Ef x x ⎰存在 (B )()f x 在E 上L 可积(C )..()()()a e n f x f x x E →∈ (D )lim ()d ()d n n EEf x x f x x →∞=⎰⎰4、若()f x 在可测集E 上有L 积分值,则(A 、C ) (A )()f z +和()f z -中至少有一个在E 上L 可积(B )()f z +和()f z -都在E 上L 可积(C )()f z 在E 上也有L 积分值 (D )()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的绝对连续函数,则( A 、B 、C )(A )()f z 是[,]a b 上的连续函数 (B )()f z 是[,]a b 上的一致连续函数 (C )()f z 是[,]a b 上的有界变差函数 (D )()f z 在[,]a b 上处处可导 三、填空题(将正确的答案填在横线上) 1、 设A ,B 是两个集合,则A B⋃=(\)B A A ⋃2、设n E R ⊂,如果E 满足int E E =,则E 是 开 集。

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