S
[S]＝[C]-1—柔度矩阵。 同样， [S]也是对称矩阵，它也有
21个独立变量。
§2.2
§2.2 各向异性弹性体的 本构关系
➢ 2.2.1 具有一个弹性对称面的材料
➢ 2.2.2 正交各向异性材料 ➢ 2.2.3 横观各向同性材料 ➢ 2.2.4 各向同性材料
§2.2
x 1 y 2 应 力 z 3 yz 4 zx 5 xy 6
如取xoy坐标面与弹性对称面平行，取A与A’ 为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即将z 轴转到z’轴时，应力应变关系不变。
2.2.1有一个弹性对称面的材料
此时：z=-z’，w=-w’，（新旧坐标系）
yz
wv y z
(w yvz)yz
4
zx zuwx (uzw x)zx 5
其余应变分量不变
2.2.1有一个弹性对称面的材料
对于各向异性材料，考虑到应变能 W>0，所以[C]和[S]必须正定。
2.3.2
矩阵正定的定义： 特征值都大于零的实对称矩阵。 充分必要条件： 所有主子式都大于零 Ai>0(i=1,2 6) 主子式： 在[S]（或[C]）中任意取第i1,i2,i3, ik行 和i1,i2,i3, ik列交点处的元素构成的行 列式称为矩阵 [S]（或[C]）的主子式。
只有2个独立参数，因为E、、G之间有关
系。
§2.3
§2.3 正交各向异性材料的 工程弹性常数
工程常数是指弹性模量Ei,泊松比ij和
剪切模量Gij，这些常数由实验测定。
Ei
i i
i
1,2,3—
分别在各弹性主方向有作 用力时的应力应变之比
ij
i j
— 单独在j方向有正应力时i方向上
应变与j方向应变之比的负值
1 1221 2332 1331 2213213 0
书上（2-42）式就是通过组合上
述公式得到的。这些关系式可用于检
验材料实验数据。
2.2.1 有一个弹性对称面的材料
同理：
S11 S12 S13 0
S1
2
S22
S23
0
0 S16
0
S
2
6
s
S1
3
S23
S33
0
0
S
3
6
0 0 0 S44 S45 0
0
0
0
S45 S55
0
S16 S26 S36 0 0 S66
2.2.2正交各向异性材料
如果具有三个正交弹性对称面，则：
第二章 各向异性 弹性力学基础
§2.1 各向异性弹性力学基本方程 §2.2 各向异性弹性体的本构关系 §2.3 正交各向异性材料的工程弹性常数
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§2.1(1)
§2.1 各向异性弹性力学 基本方程
各向异性弹性力学基本方程包括：
1∘工程应力方程 2∘工程应变方程 3∘平衡方程
4∘几何关系方程 5∘变形协调方程 6∘物理方程
C44
C55
C66
1 2
C11 C12
S11=S22=S33，S12=S13 =S23，
1
S44 S55 S66 2 S11 S12
2.2.4各向同性材料
C11 C12 C12
0
0
0
C12 C11 C12
0
0
0
C12
C 0
C12 0
C11 0
0
1 2
C11 C12
0 0
工程应力
yxx
xy y
xz yz
zx zy z
工程应变
x
xy
xz
yx
y
yz
zx
zy
z
几何关系方程
x
u x
,
v y y ,
z
w z
,
yz
w y
v ; z
zx
u z
w x
;
xy
v x
u . y
变形协调方程 （1）
6个应变分量是通过3 个位移分量表示的，因此， 6个应变分量不是互不相 关的，之间存在必然联系：
x
xz y
xy z
yz x
2
2 x yz
不满足协调方程，则变
形后，不能将小单元体 拼合成连续体，产生小 y
裂缝。为使变形后连续，
xy
z
yz x
zx y
2 2 y zx
应变分量必须满足协调 方程。因此变形协调方 程是保证物体连续的一
z
yz x
zx y
xy z
2
2 z xy
E2 E1
2
1 13 31 0
同理可得：
1
13
E3 E1
2
1 23 32 0
1
23
E3 E2
2
2.3.2
1
12 13
3∘
E1
E2
E3
S3
0
21
E1
1 E2
23 0
E3
31 32
1
E1
E2 E3
所以1 122 3 31 213213 1 3 31 2332 2112 0
2.3.2
1∘ S 1 0 E 1 1 0 , E 2 10 2 , E 3 0 , G 2 0 3 , G 3 0 1 , G 1 0 2 .
2∘S 2
0
E1
21
E2 1
1 12 21 0
E1E2 E1E2
E1
E2
1
所以1 12 21
0,再由
21
E1
12
E2
, 得 12
C11 C12 C13 0 0
C12 C11 C13 0
0
0
0
C
C13 0
C13 0
C33 0
0 C44
0 0
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
C44 0
0
1 2
C11
C12
只有五个独立系数
2.2.4各向同性材料
如果材料任一点、任一方向弹性特 性都相同。
有：C11=C22=C33， C12=C13 =C23，
0 0 0 S44 0 0
0
0
0
0
S55
0
0 0 0 0 0 S66
只有九个独立系数
重要性质，正剪无耦合
2.2.3横观各向同性材料
各向同性面—在该平面内，各点的弹 性性能在各方向上相同。
假定：1，2，3都是弹性 主轴，1－2面是各向同性 面。
则：S11=S22， S13=S23， S44=S55， C11=C22，C13=C23， C44=C55
c11 c12 c13 0 0 0
c12
c22
c23
0
0
0
c
c13 0
c23 0
c33 0
0 c44
0 0
0
0
9
0
0
0
0
c55
0
0 0 0 0 0 c66
2.2.2正交各向异性材料
S11 S12 S13 0 0 0
S1
2
S22
S23
0
0
0
S
S1
3
S23
S33
0
0
0
2.2.3横观各向同性材料
又设某点应力状态：1= ， 2= － ， 4= 5＝ 6，有
W 1 2 S 11 2 S 12 2 1 2 S 11 2S 1 1S 122
将1、2坐标轴在面内转450到1 ’、2’，
则1’= 2’＝ 3’＝0， 6’ ＝1’2’＝－ ，
2’3’＝
3’1’
＝0：
fx =xl + yxm +zxn fy = xyl + ym +zyn fz = xzl + yzm + zn
物理方程
(本构关系) Hooke 定理：
x
y
C11 C21
C12 C22
C13 C23
C14 C24
C15 C25
CC1266
x y
z
yz
C31 C41
C32 C42
x 1 y 2 应 变 z 3 yz 2yz 4 zx 2zx 5 xy 2xy 6
§2.2
应变势能密度为：W11C
W
1 2
C1112
C121 2
C131 3
2
C141 4
2
C151 5 C161 6
1 2
C22
2 2
C23 2 3
C24 2 4
C25 2 5
C26 2 6
1 2
W
1 2
S66 6
则：S66＝2(S11 –S12)
2.2.3横观各向同性材料
S11 S12 S13 0 0
S12 S11 S13 0
0
0
0
S S13 S13 S33 0
0
0 0 0 S44 0
0
5
0
0 0
0 0
0 0
0 0
S44
0
0 2 S11 S12
2.2.3横观各向同性材料
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0
1
2 C11 C12 0
0
1 2
C11
C12
2.2.4各向同性材料
S11 S12 S12
0
0
0