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当0 < x<2 或 x>3 时，f′(x> ) 0 ， 故 f(x)在2 0 ) ( , 为 增 函 数 ； 当2 < x<3 时，f′(x< ) 0 ， 故 f(x)在3 2 ) ( , 由 此 可 知 处 取 得 极 小 值 f(x)在 x＝2 处 取 得 极 大 值 f3 ( ) ＝2＋n 6 3 l.
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请注意！
极值与最值也是高考中的重中之重，每年必考，并且考查形 式较多.
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1．函 数 的 极 值 1 ( ) 设 函 数 f(x)在 点 x0 附 近 有 定 义 ， 如 果 对 都 有 f(x) < f(x0)， 那 么 ＝f(x0)； 如 果 对 是 函 数 f(x0)是 函 数 x0 附 近 的 所 有 的 点 ， y极 大 值 f(x0)
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1 2 ( ) 由1 ( ) 知，f(x)＝2(x－5 ) 2＋n 6 l x(x> 0 ) ， 6 x－2x－3 f′(x)＝x－5＋x ＝ . x 令 f′(x)＝0， 解 得 x f′(x) f ( x) 2 0 ) ( , ＋ x1＝2，x2＝3， 可 得 2 0 极 大 值 3 2 ) ( , － 3 0 极 小 值 (3， ＋ ∞) ＋
y＝f(x)在点(1，f1 ) (
1 ( ) 确定 a 的值； 2 ( ) 求函数 f(x)的 单 调 区 间 与 极 值 ．
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【 解 析 】
1 ( ) 因 为 f(x)＝a(x－5 ) 2＋n 6 l x，
6 故 f′(x)＝2a(x－5 ) ＋x. 令 x＝1， 得 f1 ( ) ＝1 6 a，f′1 ( ) ＝6－8a. 所 以 曲 线 8a)(x－1 )． 由 点6 0 ) ( , 在 切 线 上 可 得 1 6－1 6 a＝8a－6， 故 a＝2. y＝f ( x) 在 点 (1，f1 ) ( 处 的 切 线 方 程 为 y－1 6 a＝(6－
2 ( ) 当 函 数
f(x)在 x0 处 连 续 时 ， 判 别
f(x0)是 极 大 (小)值 的 方 法 ： f(x0)是 极 大
如 果 x<x0 有 f′(x) > 0，x>x0 有 f′(x) < 0， 那 么 值 ； 如 果 x<x0 有 f′(x) < 0，x>x0 有 f′(x) > 0， 那 么 小 值 ．
0
ln2x )函数 y＝ x 的极小值为________．
函数的定义域为(0，＋∞)，令 y＝f(x)，
n 2 l x－ln2x －lnxlnx－2 f′(x)＝ ＝ . x2 x2
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函 数 f′(x)与 f(x)随 x 的 变 化 情 况 如 下 表 ： x f ′( x) f ( x) 则 当 x＝1 时 ， 函 数 1 0 ) ( , － ＋ ∞) 1 (1，e2) e2 (e2， 0 0 ＋ 0 4 e2 0 . －
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x＝ － 2对 称 ，
∴f ( x) 满 足 f0 ( ) ＝f(－4 ) ，f(－1 ) ＝f(－3 )，
－ b＝ 即 － 0＝ 1 5 1 6 －4a＋b， a＝8， 解 得 89－3a＋b， 5 . b＝1
∴f ( x) ＝ － x4－8x3－1 4 x2＋8x＋1 5 . 由 f′(x)＝－4x3－2 4 x2－2 8 x＋8＝0， 得 x1 ＝ － 2－ 5，x2＝ － 2，x3＝ － 2＋ 5. 易 知 ， f(x)在(－∞，－2－ 5)上 为 增 函 数 ， 在 2 )上 为 减 函 数 ， 在 ∞)上 为 减 函 数 ．
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第 3 课时
导数的应用(二)——极值与最值
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理解极值的概念，会用导数求多项式函数的极大值、极小值 及闭区间上的最大值、最小值或以极值、最值为载体求参数的范 围.
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例1 2 ( 0 1 3 ·
重庆)设 f(x)＝a(x－5)2＋n 6 l x， 其 中 处 的 切 线 与 y 轴相交于点6 0 ) ( , ．
a∈R， 曲 线
a (0，＋∞)，f′(x)＝1－x .
2 ①当 a＝2 时，f(x)＝x－n 2 l x，f′(x)＝1－x (x> 0 ) ， 因而 f1 ( ) ＝1，f′1 ( ) ＝－1， ∴曲线 y＝f(x)在点 A(1，f1 ) ( 1)，即 x＋y－2＝0.
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处 的 切 Hale Waihona Puke 方 程 为f(x0)是极
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2．求 可 导 函 数
f ( x) 极 值 的 步 骤
1 ( ) 求导数f′(x) ； 2 ( ) 求方程f′(x)＝0的根； 3 ( ) 检 验 f′(x)在 方 程 f′(x)＝0 的根左右的值 的 符 号 ， 如 果 在 y＝f(x)在 这 个 根 处
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探 究 1 掌 握 可 导 函 数 极 值 的 步 骤 ：
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1 ( ) 确 定 函 数 的 定 义 域 ． 2 ( ) 求 方 程 3 ( ) 用 方 程 f′(x)＝0 的 根 ． f′(x)＝0 的 根 和 不 可 导 点 的 x的 值 顺 次 将 函 数 的
f ( x) 的 一 个 极 大 值 ， 记 作 f(x) > f(x0)， 那 么
x0 附 近 的 所 有 的 点 ， 都 有
f(x)的 一 个 极 小 值 ， 记 作
y极 ＝f(x0)． 极 大 值 与 极 小 值 统 小 值
称 为 极 值 ．
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，(3，＋∞)上
上 为 减 函 数 ． 9 f2 ( ) ＝2＋n 6 2 l ， 在 x＝3
1 【答案】 1 ( ) 2 2 ( ) 增 区 间 2 0 ) ( , 9 极大值2＋n 6 2 l ，极小值 2＋n 6 3 l
，(3，＋∞)，减区间3 2 ) ( ,
，
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5． 2 ( 0 1 3 ·
课 标 全 国
Ⅰ)若函数 f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的 图 像 ________．
关于直线 x＝－2 对称，则 f(x)的 最 大 值 为
答案 16
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解 析 ∵函 数 f ( x) 的 图 像 关 于 直 线
f(x)在[a，
b]上 的 最 值 ， 可 分 两 步 进 行 ： 1 ( ) 2 ( )
求f(x)在(a，b)内的极值 ； 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最
．
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大值，最小的一个是最小值
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1．2 ( 0 1 3 · 结 论 中 错 误 的 是
ln2x y＝ x 取 到 极 小 值
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4． 已 知 函 数 则 m＝_ _ _ _ _ _ _ _
答案 2
f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2 在 x＝－1 时有极值 0， ，n＝________.
9
解析
f′(x)＝3x2＋6mx＋n， 由 题 意 ，
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(a，b) 内 可 导 ， 函 数
f ( x)
在[a，b]上 一 切 函 数 值 中 的 最 大 大(最 小 )值． 4．求 函 数 最 值 的 步 骤 设 函 数
(最 小 )值 ， 叫 做 函 数
y ＝f ( x ) 的 最
y＝f(x)在[a，b]上 连 续 ， 在
(a，b)内 可 导 ， 求
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(－2－ 5，－ (－2＋ 5，＋
(－2，－2＋ 5)上 为 增 函 数 ， 在
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∴f(－2－ 5)＝[1－(－2－ 5)2][(－2－ 5)2＋8 ( －2－ 5)＋ 1 5 ] ＝(－8－4 5)(8－4 5)＝8 0 －6 4 ＝1 6 . f ( －2 ) ＝[1－(－2 ) 2][(－2 ) 2＋8×(－2 ) ＋1 5 ] ＝ －3 4 ( －1 6 ＋1 5 ) ＝ －9 . f( － 2 ＋ 5) ＝ [1 － ( － 2 ＋ 5)2][( － 2 ＋ 5)2 ＋ 8 ( － 2 ＋ 5) ＋ 1 5 ] ＝(－8＋4 5) 8 ( ＋4 5)＝8 0 －6 4 ＝1 6 . 故 f ( x) 的 最 大 值 为 1 6 .