结构有限元模型的修正方法
摘要模型修正可以提高有限元模型的可信度,随着结构的大型化和复杂化,模型修正方法越来越受到重视。

根据修正对象的不同,模型修正方法有很多种。

本文采用参考基方法,以修正后的质量矩阵为参考基准,通过目标函数最小化来进行模型修正。

数值实验表明本文的方法是可行的,问题的解存在唯一性。

关键词模态数据;有限元;模型修正
中图分类号tu317 文献标识码a 文章编号
1674-6708(2010)31-0189-02
0 引言
有限元模型修正是一门正在兴起的学科,近几年来,人们渐渐发现它在很多科学领域中发挥了越来越重要的作用,特别是在结构动力学、工程技术、信号处理和电子振荡等领域,有限元模型修正指的是关于动力系统模型的设计、构造和修正。

在工程技术领域里,要解决工程中普遍存在的振动问题,首先就必须建立结构的动力学模型。

一般的建模方法有理论建模和实验建模两种,而理论建模工程上常用有限元方法。

模型修正的目的是用实测数据校正不精确的分析模型,而这些数据像固有的频率、阻尼比和振型等,一般是通过振动测试得到的。

根据实测的模态数据修正模型分析得到质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵,缩小有限元模型与实测模型之间的误差,改善有限元模型[1]。

1 模型修正方法
假设由有限元方法计算得到近似的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵分别为,根据实际测量得到的低阶频率和相应的振型,一般情况
下二次束的特征值和特征向量跟实际的频率和振型存在着一定的
误差。

模型修正方法是利用实测模态数据对质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵进行修正,使修正后的质量矩阵m、阻尼矩阵c和刚度矩阵k满足谱约束条件[3]。

设低阶频率和相应的振型分别为:
改写成矩阵形式如下:
,
其中。

一般的模型修正问题可表述如下:
给定,以及模态数据,求矩阵,使得
这里sn表示n阶实对称矩阵,m>0表示对称正定矩阵,c1,c2为两个正的参数。

对于阻尼结构动力系统,如果以质量矩阵作为不变的参考基准,
即取m=ma,那么就可以直接修正阻尼矩阵和刚度矩阵[2]。

在实际问题中,往往要求质量矩阵m是对称正定矩阵,我们可以先修正质量矩阵ma,取,这里表示所有实对称正定矩阵的集合,表示ma在上的投影,即
.
于是,我们以修正后的质量矩阵为参考基,同时修正阻尼矩阵和
刚度矩阵,使得罚函数最小。

原问题等价为:
其中n为任意对称正定矩阵(一般地,取),μ是权重参数。

2 算法
给定模态数据以及,以下是求m,c和k的步骤:
步骤1 令.
步骤2 对ma作谱分解:,其中是正交矩阵,。

当时
当时
再计算,其中。

步骤3 对作分解:
步骤4 计算。

步骤5 解关于x的方程gx=b,其中
步骤6 计算,。

其中。

在计算,
,。

步骤7 最后计算矩阵c和k:
3 数值实例
已知某个具有6自由度的有限元结构振动系统,其分析质量、阻尼、刚度矩阵分别为:
实际测得一组不完备振动频率,写成矩阵形式如下:
相应振型向量构成的振型矩阵:
取,由上面的算法求得模型修正问题的解为
从实例的计算结果可以看出,修正后的质量、阻尼、刚度矩阵跟原来的矩阵很接近,问题的解是唯一存在的,算法具有可靠性。

参考文献
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