- 1
来确定模型参数向量 p 的变化量 △ p , 这里动力残数 取为 ( 6) Ri = ( K - ω2Ei M) φEi 其中 , (ωEi ,φEi ) 是结构的第 i 阶实测模态对 。 问题在于试验时模态形状的采样 ( 或测量 ) 自由 度 , 远比有限元模型的离散自由度 ( 或位移基 ) 为少 。 因此 , 为了利用方程 ( 5 ) , 或者是将模态降阶 ( 或减缩 ) 到测量自由度上 , 或者设法把模态形状的测量部分映 射成模型的位移基 , 有关各种模型降阶技术 , 放在后 节介绍 。用位移基 ( 完全的位移集 ) 模态形状来估计 方程 ( 6) 定义的动力残数 , 也便于误差定位 ( Error Lo2 calization) 。 利用动力残数校正模型的理论基础如下 : 若校正 模型是 : Kc = K + △K ( 7) Mc = M + △ M 按照方程( 4) , 有 2 ( Kc - ω Ei M c ) φ Ei = 0 于是得到 - Ri = ( △K - ω2Ei △ M) φEi
数 ( 或称为灵敏度 ) 来修正有限元模型 。相对于最优 矩阵修正 ( 直接法 ) , 该方法有一系列优点 : 初始模型 的公式 ,包括它的连通性被隐含地保存下来 , 其次 , 模 型修正的结果可用设计参数或建模假设中的误差表 示出来 。
这里 ,行为参数是通过实验测量得到的 ; 2) 模型反演设计问题 ( Inverse Design) [4 ] ,这里 ,把 行为参数作为设计目标加以设定 。 我们要介绍的是第一类反问题 ,当前通称为模型 修正 (Model Updating) . Ibrahim[7 ] 认为 : 有限元模型修正 已成为九十年代以来模态分析和试验的一大挑战 。 由于有限元建模中存在各种误差 , 一个可靠的有限元 模型一般必须针对准确的实验结果加以修正后才可 得到 。 在模型修正中 ,可以说绝大多数都是利用某种残 数 ( Residual ) [1 ] 达到极小的策略 ,因此 ,各种优化算法 , 诸如梯度法 、 遗传算法等 , 在这里找到了广阔应用的 新天地 。 主要有下述两种模型修正技术 : (1) 最优矩阵修正 ( Optimal Matrix Updating) : 这种 修正法是直接去修正装配质量和/ 或刚度矩阵 , 以使 实测模态与解析模态相关 。这种方法最近的发展内 容中 ,包含有用约束来保持模型的连通性格局 ( Con2 nectivity Pattern) , 或者使矩阵修正的秩达到极小 。最 近 ,Friswell 等提出 “ , Usually elements in the mass and stiffness matrices perform very poorly as candidate parame2
n 自由度非线性动态方程可写成 :
M¨ x + Cx + Kx + DN( x , x) = Bf ( t )
( 1)
式中 , M 、 C 和 K 分别为质量 、 阻尼和刚度矩阵 , 它们 都是模型参数的函数 , f 为外激励向量 , 而 B 和 D 为 分别把外力和非线性项变换到模型的有关自由度上 的转换矩阵 , 因为外力和非线性项可能具有较低的维 数 。如果非线性是局部的 , 则可用 s ( < n ) 个广义坐 标 qi , i = 1 , 2 , …s 来描述它 ,
阶 ,参数化和正则化 ,以及有限元模型修正中的贝叶斯概率方法 。 关键词 : 映射 ,降阶 ,参数化和正则化 ,概率方法 中图分类号 : TH113. 1
0 引 言
就一般的的动力系统而言 ,根据所建立的数学模 型 ( 如有限元模型 ) , 由模型参数 ( 如材料常数和几何 参数) 来求行为参数 ( 模型的频率和模态形状 、 脉冲响 应或频率响应函数等) ,称为结构动力学正问题 ( Direct Problem) ; 而由行为参数反推模型参数 , 称为逆问题
振 动 与 冲 击 2003 年第 22 卷 70
Analysis) 、 最优投影法 ( Optimal Projection) 、 平衡降阶法 (Balanced Reduction ) 以及 这 些 方 法 的 组 合 。总 的 说
( Inverse Problem) ; 依据行为参数的不同来源 , 又把逆 ( 或反) 问题分为两类 [21 ] : 1) 模型参数辨识问题 ( Identification Problem) [2 ,3 ] ,
ters ,and this is one reason why the direct methods of model updating are not favored. ” (2 ) 基 于 灵 敏 度 的 模 态 修 正 ( Sensitivity-Based Model Updating) : 这种方法利用行为参数关于模型参数的导
ical Systems-MEMS) [14 ,15 ] ,另一重大应用是解决局部非
线性问题 [13 ] 。 至今已有很多模型降阶方法 ,除上述提到的几种 之外 ,比较成熟的有矩量匹配法 、 代价分析法 ( Cost
2 模型降阶( Model Reduction)
[ 5 , 6 , 12～15 , 22]
可划归成 Hadamard 意义下的适定问题 。他们在理论 和方法上的研究成果 , 已成为今天反问题研究的数学 基础 。 对非适定问题及其数值解法的研究工作很多 ,最 [19 ] 有影响的当推 Tikhonov 的著作 《不适定问题解法》 , 书中提出了不适定问题的正则化思想 , 并且给出了具 体算法 ,它为求解不适定问题提供有力手段 , 使得许 多不适定问题在正则化下迎刃而解 。与正则化类似 的另一种解决不适定问题的方法是 Phillips 光滑化方 法 ; 现已证明 , 这种引入光滑矩阵来改善解的光滑性 质的方法是 Tikhonov 正则化在某些条件下的特殊情 况 [21 ] 。 可以在各种算法之中引入约束 , 比如选择法 , 截 断奇异值法 ,截断 QR 法 ,迭代法以及特征函数展开法 等。 病态的噪声方程组的处理 ,是对有限元模型修正 极为重要的问题 。正则化集中围绕如下线性方程组 θ= b J ( 20) 式中 θ( = △ p) n 维参数变更向量 , 它是需要确定的未 知量 ; 而 b 是 m 维残数向量 , 它是从实测数据和模型 的现时估计得出的 ; 一般 , J m ×n 是灵敏度矩阵 , 数学上 称为 Jacobi 阵 , 在模型修正中测量输出 ( 诸如 , 固有频 率 ,模态形状和频率响应函数 ) 间的关系一般是非线 性的 ,方程 ( 20 ) 是借助一阶泰勒展开的线性方程 , 用 迭代法求解直到收敛 , 详情细节可参看文献 [ 8 ,9 ] 。 当 b 被附加的 , 具有零均值的独立随机噪声污染时 , 众所周知 , 只要 rank ( J) = n , 那么最小二乘解 θ LS 时唯 一的而且无偏 。当 J 接近秩亏时 , 那时小的噪声水准 会导致估计参数离它们的精确值的巨大偏差 。这种 解叫做不稳定的 , 同时方程( 20) 是病态的 。 不同的问题发生在 n > m 之时 , 那时 ( 20) 是欠定 的 , 它有无穷多个解 , 形式为 θLS = J + b ( 21) 的解给出最小范数解 , 式中 J + 是 Moore- Penrose 逆 。对 于 rank ( J) = r < min ( n , m ) 场合 , 奇异值分解 ( Singularvalue Decomposition) 给出最小范数解 。这是业已在模 型修正中广泛应用的一种正则化形式 。不幸的是 , 最 小范数解很少导致有物理意义的修正参数[17 ] 。 模型修正经常导致病态的参数估计问题 。一种 卓有成效的正则化形式是放约束到参数上 , 一种可能 的约束 ,是使原模型和修正的模型的参数之间的偏差 达到极小 。比如 ,在框架结构中可以有若干个名义上 等同的 T - 连接点 。由于制造公差 , 这些连接点的参 数将稍有差异 , 虽然这些差异很小 。因此 , 可以对在 这些参数加上侧边约束 ( Side Constraint ) 使得残数和名 义等同的参数间的差异达到极小 。因此 ,如果 ( 20) 生
振 动 与 冲 击 第 22 卷第 4 期
JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCK Vol . 22 No. 4 2003
有限元模型修正中若干重要问题
宋汉文 王丽炜 王文亮
( 复旦大学力学与工程科学系 ,上海 200433)
Ξ
摘 要 本文论述线 ,模型降
S= 0 0 0
- 1 Kss
( 13)
M R 和 KR 是得自静力缩聚的减缩到测量自由度上的
质量矩阵和刚度矩阵 :
T T M R = TG MTG , KR = TG KTG
( 14)
因此 , Ri 是模型的误差大小及误差分布 ( 空间位置) 的 函数 。 1 . 3 Farhat 和 Hemez 的 摇 晃 迭 代 法 ( Stagger Itera2 tion[ 2] ) 及 Alvin 的改进[ 3] ) 模态形 Hemez 摇晃迭代法有三个关键步骤 : ( ⅰ 状的 映 射 ( Model- Shape Projection ) , ( ⅱ) 误 差 定 位 , (ⅲ ) 参数估计 ( Parameter Estimation ) 。整个算法是迭 代 ;利用原模型 ( 即有误差的有限元模型 ) 映射出完整 的 ( 位移基) 模态形状 , 然后用映射好的振型估计参数 修正 ,再在每次迭代中用上述参数的变更去校准质量 阵和刚度阵 , 紧接着开始次一轮的迭代 , 当参数变更 的大小落在使用者规定的门槛值之下时迭代终止 。 Hemez 的迭代算法在如下意义上是摇晃的 。虽然 在整个过程中 ,模型的确在被校准 , 但在映射振型 ( 或 称为模态形状 ) 时却不顾参数的校准 , 这种算法虽然 稍微简化了理论推导 , 但却要付出较大的计算耗费 — — — 每次迭代产生很小的参数变化和十分缓慢的收 敛性 。 Alvin 以一致的方式计入映射与校准 ( 参数变更 ) 之间的相互依赖性 ,他把校准量附加到模型形状的映 射部分 ,从而较大地改善了算法的收敛性 。