利用层次分析法解决课堂教学质量评价数学模型摘要：在大学生活中、学生与老师的关系对学生自身的发展起着至关重要的作用。
教师如何用正确，合理，简单的方法将知识传递给学生，是每所大学都会面临的问题，需要校领导进行决策，这些问题会受到各方面因素的约束。
在课堂教学质量评价的问题中，会受到教师教学态度，教学内容，教学方法，教学效果的诸多因素，而不知如何做出抉择。
本论文将这一问题进行探讨，对课堂教学质量评价这一问题进行相对合理的假设以及简化，将主要考虑因素集中在教学态度，教学内容，教学方法，教学效果这四个方面，并利用层次分析法，将定性问题转化成定量问题，构造对比矩阵，分析权重的一致性，并在最后借助Matlab数学软件进行求解，对十位老师的教学质量进行评价，并以排序的方式给出评价结果。
关键词：层次分析法AHP Matlab 对比矩阵权重一、问题重述：课堂教学是教学监控和教学评价中重要的一环,如何取定合理的评价方法是一个非常重要的问题，如何建立合适的方法对教师教学质量进行评价，从而建立更加合理高效的教学方法，提高学生的知识水平，人文素养对于学校和老师都是亟待解决的难题。
对现存的教师教学质量的评价方法是从教学态度，教学内容，教学方法，教学效果进行入手。
此种方法是否合理有效，能否真实的放映需要解决的问题，需要建立数学模型进行求解。
本文通过对十位教师的教学质量通过建立模型，进而求解从而对他们的教学能力进行评估，排序，为校领导进行相应的决策以及学生们选择课程提供相应的依据。
二、问题的分析：对多位老师的教学质量进行评价排序的问题，可以利用层次分析法（AHP）对十位教师进行优先排序。
在解决问题时，首先分析内在因素间的联系与结构，并把这种结构划分为三层即可，即目标层，准则层，方案层。
把各层间诸要素的联系用线表示出来，接着是同层因素之间对上层因素重要性进行评价，并利用“两两比较法”建立比较矩阵，求得权系数，再进行一致性检验，如通过，则求得的权重系数可以被接受，否则，应重新评判。
再进行单层权重评判的基础上，再进行层次间重要性组合权重系数的计算。
最后求出各个方案所占的权重，即可确定十位教师教学质量的优先顺序。
三、模型假设：1、假设所考察的因素中除了教学态度，教学内容，教学方法，教学效果外，不考虑其他因素2、假设4个因素中，每种因素的子因素对教师的影响因子相同3、假设在构建成对比矩阵的观点一致4、假设所有教师都是来自不同学院，教授不同学科的教师四、符号说明教师评价表见附录五、模型的建立和求解：1：建立层次分析结构模型教师教学质量的评价的三个主要层次如下所示： 目标层：对教师教学的质量进行评价排序准则层： 教学态度，教学内容，教学方法，教学效果 方案层：J1,J2,J3,J4该问题十分明确，三个层次的要素也十分明显。
首先将有关因素按照不同的属性从上到下分为三个层次，分别为目标层、中间层和方案层。
最上层为目标层：对教师教学的质量进行评价排序；中间层为准则层：教学态度，教学内容，教学方法，教学效果；最下层为方案层：J1,J2,J3,J4，J5,J6,J7,J8,J9,J10。
其中，这三个层次相互影响，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立，将这三个层次用图表示即为：2：构造成对比较阵在构造成对比矩阵之前，引入一个评价指标，即由教学态度，教学内容，教学方法，教学效果等四个指标对于教师教学质量评价排序的的影响大小，采用1-9级相对重要性作为尺度的方法。
其详细内容如下所示：由学校组织通过对以上四位老师的四种评价指标的实际情况的调查，得到下面几个表格。
其中，表格1是对四种指标之间的相对重要性进行比较，表格2到表格5则是针对于每种具体的指标，根据四位老师在该指标上的优劣进行比较，最终得出以下的对比矩阵：表格二表格五3：计算权向量并作一致性检验借助数学软件Matlab 对每一个成对比矩阵计算最大特征根和特征向量，并作一致性检验，若通过，则可认为成对比矩阵的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。
否则应该重新构造成对比矩阵。
引入计算公式与随机一致性指标：1、定义一致性指标: 1--=n nCI λ（CI 越大，不一致越严重）2、随机一致性指标RI ：3、定义一致性比率 CR = CI/RI （当CR<0.1时，通过一致性检验） 利用Matlab 软件计算可得：（见附录）（1）四种指标之间的相对重要性：（2）十位老师在对应指标上的相对重要性：在上述表格中，所有的CR都小于0.1，表示这5个成对比矩阵的不一致程度在容许范围之内，故其特征向量均可以用作权向量。
4：计算组合权向量（作组合一致性检验）计算组合权向量并将最后结果作为决策的定量依据。
将上述5个表格中得到的结果融合并用EXCEL进行处理，计算最终的组合权向量。
综上可得，J1在目标中的组合权重应为J1在各准则中的权重与相应准则对于目标的权重的两两乘积之和，即：J1=0.2507*0.2321+0.1451*0.1347+0.1232*0.0834+0.5499*0.1332=0.1613J2=0.0505*0.2321+0.0457*0.1347+0.0575*0.0834+0.5499*0.0413=0.0454J3=0.0169*0.2321+0.0525*0.1347+0.0536*0.0834+0.0662*0.5499 = 0.0519J4=0.0639*0.2321+0.0491*0.1347+0.0304*0.0834+0.5499*0.1848 = 0.1256J5=0.0635*0.2321+0.0951*0.1347+0.0304*0.0834+0.5499*0.2241 =0.1533J6=0.0932*0.2321+0.0975*0.1347+0.0468*0.0834+0.0321*0.5499 =0.0563J7=0.0588*0.2321+0.1638*0.1347+0.2021*0.0834+0.5499*0.0402=0.0747J8=0.1310*0.2321+0.1293*0.1347+0.1499*0.0834+0.0648*0.5499 = 0.0960J9=0.1310*0.2321+0.0975*0.1347+0.2282*0.0834+0.0986*0.5499 = 0.1168J10=0.1404*0.2321+0.1244*0.1347+0.0829*0.0834+0.5499*0.1414= 0.1340 由上述可以得到最终结果：J1>J5>J10>J4>J9>J8>J7>J6>J3>J2，故最后教师教学质量的评价排序为J1>J5>J10>J4>J9>J8>J7>J6>J3>J2。
六、模型的评价与推广层次分析法是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。
过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。
层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策。
把定量和定性的方法结合起来，能处理许多传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广。
具有中等文化程度以上的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便。
但也有它的局限性，可以用粗略、主观等词来概括，第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；第二，它的比较判断直到结果都是粗糙的；第三，人主观因素的作用很大。
七、参考文献[1] 韩中庚《数学建模方法及其应用》高等数学出版社2005版[2] 姜启源《数学建模》北京高等教育出版社2005版[3] 王沫然《MA TLAB与科学计算》北京电子工业出版社2003版八、附录Matlab代码：clear,clcdisp('输入待求的矩阵u ')u=input('请输入：')[v,d]=eigs(u);tbmax=max(d(:));[m,n]=size(v);sum = 0;for i=1:msum = sum + v(i,1);endtbvector = v(:,1);for i=1:mtbvector(i,1)= v(i,1)/sum;enddisp('========================================');disp('输入的矩阵为：');udisp('所有的特征向量和特征值为：');vddisp('最大的特征值为：');tbmaxdisp('最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：');tbvectordisp('一致性比率CR为：')CR= (tbmax-10)/9/1.49ifCR<0.1disp('CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量')elsedisp('CR大于0.1，没能通过一致性检验，特征向量不为权向量'); end五个矩阵的一致性检验结果：>> A=[1 3 2 1/31/3 1 3 1/51/2 1/3 1 1/53 5 5 1];B=[1 3 7 5 3 3 3 3 3 31/3 1 7 1 1/3 1/3 1 1/3 1/3 1/51/7 1/7 1 1/5 1/3 1/5 1/5 1/7 1/7 1/71/5 1 5 1 1 1 1 1/3 1 1/31/3 3 3 1 1 1 1 1/3 1/5 1/31/3 3 5 1 1 1 1 1 1 11/3 1 5 1 1 1 1 1/3 1/3 1/31/3 3 7 3 3 1 3 1 1 11/3 3 7 1 5 1 3 1 1 11/3 5 7 3 3 1 3 1 1 1 ];C=[1 5 3 3 1 3 1/3 3 3 11/5 1 5 1/3 1/3 1 1/7 1/3 1/3 1/51/3 1/5 1 1 1 3 1/5 1/3 1/3 1 1/31/3 3 1 1 1 1/3 1/3 1/3 1 1/31 3 1 1 1 3 1/3 1/3 1/5 31/3 1 1/3 3 1/3 1 1 1 5 13 7 5 3 3 1 1 3 1/3 1/31/3 3 3 3 3 1 3 1 1 11/3 3 3 1 5 1/5 1/3 1 1 11 5 3 3 1/3 1 3 1 1 1 ];D=[1 5 3 5 5 3 /3 1 1/3 11/5 1 1 3 3 3 1/3 1/3 1/5 1/31/3 1 1 1 3 3 1/3 1/3 1/3 1/5 1/31/5 1/31/3 1 1 1 1/5 1/5 1/3 1/31/5 1/3 1/3 1 1 1 1/5 1/5 1/3 1/31/3 1/3 1/3 1 1 1 1/3 1 1/5 13 3 3 5 5 5 3 1 3 1/3 51 3 3 5 5 1 1 1 1 33 5 5 3 3 5 3 1 1 31 3 3 3 3 1 1/5 1/3 1/3];E=[1 3 3 1 1/3 5 5 5 1 11/3 1 1 1/3 1/3 3 1/3 1/3 1/3 1/31 / 3 1 1 1/3 1/5 3 5 3 1/3 /31 3 3 1 1 3 5 5 3 33 3 5 1 1 5 5 5 3 31/5 1/3 1/3 1/3 1/5 1 1/3 1/3 1/5 1/71/5 3 1/5 1/5 1/5 3 1 1 1/3 1/71/5 3 1/3 1/5 1/5 3 1 1 1 1/71 3 3 1/3 1/3 5 3 1 1 11 3 3 1/3 1/3 7 7 7 1 1 ];>> JianYan(A)======================================== 最大的特征值为：tbmax = 4.2489最大的特征值对应的特征向量为：tbvector =0.23210.13470.08340.5499一致性比率CR为：CR =0.0922CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量>> JianYan(B)======================================== 最大的特征值为：tbmax =10.7442最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：tbvector =0.25070.05050.01690.06390.06350.09320.05880.13100.13100.1404一致性比率CR为：CR =0.0554CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量>> JianYan(C)======================================== 最大的特征值为：tbmax =11.2669最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：tbvector =0.14510.04570.05250.04910.09510.09750.16380.12930.09750.1244一致性比率CR为：CR =0.0944CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量>> JianYan(D)======================================== 最大的特征值为：tbmax =11.2577最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：tbvector =0.12320.05750.05360.03040.03040.04680.20210.14490.22820.0829一致性比率CR为：CR =0.0937CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量>> JianYan(E)======================================== 最大的特征值为：tbmax =11.3092最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：tbvector =0.13320.04130.06620.18480.22410.02310.04020.04680.09860.1417一致性比率CR为：CR =0.0976CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量十位教师评价表。