2020-2021学年南通市如东县第一学期期中试（答案）1.【答案】B【解析】 【分析】本题考查偶函数的定义，增函数的定义，根据函数单调性解不等式的方法，以及绝对值不等式的解法．由f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递增，便可由f(2x −1)<f (12)得出|2x −1|<12，解该绝对值不等式便可得出x 的取值范围． 【解答】解：f(x)为偶函数；∴由f(2x −1)<f (12)得，f(|2x −1|)<f (12)； 又f(x)在[0,+∞)上单调递增； ∴|2x −1|<12； 解得14<x <34；∴x 的取值范围是：(14,34)． 故选B ．2.【答案】C【解析】分析】本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用，熟练掌握对数运算性质是解答的关键．由题设中的定义，将音量值代入η=10lg II 0，计算出声音强度I 1与声音强度I 2的值，再计算出即可求出倍数． 【解答】解：由题意，令60=10lg I 1I 0，解得，I 1=I 0×106，令40=10lg I2I 0，解得，I 2=I 0×104，所以I1I 2=100．【解析】 【分析】此题考查了交集及其运算，以及二元一次方程组的解法，是一道基本题型，学生易弄错集合中元素的性质．求出方程组{2x +y =2x −y =4的解，可得答案．【解答】解：联立两方程{2x +y =2x −y =4，解得{x =2y =−2, ∴M ∩N ={(2,−2)}． 故选D ．4.【答案】D【解析】 【分析】本题考查Venn 图表达集合的关系及运算，属基础题．由图可知阴影表示的集合为(∁U A )∩B ，求出∁U A ，由此可得结论． 【解答】解：因为U =R ，集合A ={x|x <−2或x >6}，所以∁U A ={x |−2⩽x ⩽6}，又因为B ={x|−4≤x ≤5}， 所以图中阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ={x|−2≤x ≤5}， 故选D ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查函数的定义域，属基础题．分别解不等式2x +1≥0和2x −1≥0，取交集即可． 【解答】解：要使函数f (x )=√2x +1+√2x −1有意义，则{2x +1⩾0,2x −1⩾0.解之，得x ⩾12.【解析】 【分析】本题考查基本不等式求最值，不等式恒成立，解一元二次不等式，属于中档题． 先求a +b 的最小值，再解一元二次不等式，即可解决． 【解答】解：因为正数a,b 满足9a +1b =2， 所以a +b =12(a +b )(9a +1b )=12(10+ab +9ba)⩾12(10+2√a b ·9b a)=8，当且仅当a =6，b =2时，等号成立． 故a +b 的最小值为8．又因为a +b ≥x 2+2x 对任意正数a,b 恒成立， 即8⩾x 2+2x ，解得−4⩽x ⩽2， 所以实数x 的取值范围是[−4,2]． 故选A ．7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查直线方程的求法，含参不等式的解法，注意运用分离法，考查数形结合思想方法，属于中档题．求得f(x)的分段函数式，由条件可得a ≥x 2−x −f(x)，令g(x)=x 2−x −f(x)，画出g(x)的图象，结合图象可得a 的范围． 【解答】解：根据题意可知f(x)={2x +2,x ≤0−x +2,x >0，不等式f(x)≥x 2−x −a 等价于a ≥x 2−x −f(x)， 令g(x)=x 2−x −f(x)={x 2−3x −2,x ≤0x 2−2,x >0，可得g(x)的大致图象，如图所示，又g(0)=−2，g(1)=−1，g(−1)=2， ∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数， 则−2≤a <−1，即a 取值范围是{a|−2≤a <−1}． 故选C ．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力．利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可． 【解答】解：因为函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}，且f (−x )=−4(−x )2+12(−x )4=−4x 2+12x 4=f (x )，所以f(x)是偶函数，关于y 轴对称，故排除B ，C ； 当x =2时，f(2)=−1532<0，故排除A ，故选D ．9.【答案】BCD【解析】 【分析】本题是新定义问题，根据条件解出方程的解即可，属于中档题． 根据题中所给定义，只需判断f(x 0)=x 0是否有解即可．解：对于A：当x +x0=x0，即x=0时，该方程无解，故A不满足；对于B：当x02−x0−3=x0时，解得x0=3或x0=−1，满足定义，故B满足；对于C：当x0≤1时，2x02−1=x0时，解得x0=1或x0=−12，当x0>1时，|2−x0|=x0时，无解，综上C满足；对于D：当1x0−x0=x0时，解得x=±√22，故D满足，综上，BCD均满足，故选BCD．10.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查充分必要条件的应用，属于基础题．首先求出条件p对应的x的取值范围，根据充分必要条件的定义即可求解．【解答】解：p：0<x<1，则1x>1，由题意可知a≤1，故选ABC．11.【答案】AC【解析】【分析】本题考查元素和集合的关系，属于基础题．根据2∈M，然后分类讨论求出结果，关键在于验证的时候考虑集合中元素的互异性．【解答】解：因为若2∈M，当3x2+3x−4=2，解得x=−2或1，当x=−2时，集合M=｛−2，2，−2｝不符合条件，舍去；当x=1时，集合M=｛−2，2，−2｝不符合条件，舍去；当x2+x−4=2，解得x=2或−3，当x=2时，集合M=｛−2，2，14｝符合条件；当x=−3时，集合M=｛−２，２，14｝符合条件，12.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查基本不等式的相关知识，属于基础题．根据基本不等式成立的条件逐项判断即可求解．【解答】解：A，a，b都小于0时不成立，错误；B，2(a2+b2)⩾a2+b2+2ab=(a+b)2，当且仅当a=b时取等号，所以√2(a2+b2 )⩾|a+b|⩾a+b，正确；C，因为a,b∈(0,+∞)，所以ba ,ab>0，所以ba+ab⩾2√ba·ab=2，当且仅当a=b时取等号，正确；D，当a=1时，a+1a=2⩽2，正确．故答案为BCD．13.【答案】(−∞,−1)∪(3,+∞)【解析】【分析】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1< 0”，则相应二次方程有两个不等的实根．【解答】解：∵∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1<0∴x2+(a−1)x+1=0有两个不等实根∴Δ=(a−1)2−4>0∴a<−1或a>3故答案为：(−∞,−1)∪(3,+∞)．14.【答案】4【分析】本题主要考查了基本不等式的应用，考查了学生对基本不等式的整体把握和灵活运用，属于中档题．先根据基本不等式可知a+b≥2√ab，代入题设等式中得关于a+b的不等式，进而求得a+b的最小值．【解答】解：∵正数a，b满足a+b≥2√ab，当且仅当a=b时取等号，∴ab≤(a+b2)2，当且仅当a=b时取等号，又2ab=a+b+4，∴a+b+42≤(a+b2)2，即(a+b)2−2(a+b)−8≥0，当且仅当a=b=2时取等号．解得a+b≥4，当且仅当a=b=2时取等号故答案为4.15.【答案】−7;(−∞,0]【解析】【分析】本题考查区间上的二次函数的最值问题，属中档题．区间上的二次函数的最值问题，一般要对二次函数的对称轴与区间的相应位置作出判断或加以讨论，可结合图像来处理．【解答】解：∵f(x)=x2−2ax+1，x∈[0,2]，当a=3时，f(x)=x2−6x+1=(x−3)2−8，x∈[0,2]，结合二次函数的图像知：f(x)min=f(2)=−7;又f(x)=(x−a)2−a2+1,x∈[0,2]，若a⩽0，则f(x)min=f(0)=1，符合条件；若0<a⩽2，则f(x)min=f(a)=−a2+1,由−a2+1=1，得a=0，不合条件；若a>2，则f(x)min=f(2)=5−4a，由5−4a=1，得a=1，不合条件．16.【答案】3【解析】 【分析】本题考查了求解函数解析式，属于基础题． 利用换元法求解函数解析，然后可求解f(7)． 【解答】解：令t =2x +1，t ∈R ，则x =t−12，则f(t)=t 24−3t 2+54， 即f(x)=x 24−3x 2+54，f(7)=3， 故答案为3．17.【答案】 解：(1)由条件知，关于x 的方程x 2+(a +b)x +a =0的两个根为1和2，所以{−(a +b)=1+2a =1×2, 解得{a =2b =−5．(2)当b =1时，f(x)=x 2+(a +1)x +a >0，即(x +a)(x +1)>0， 当−a <−1时，即a >1时，解得x <−a 或x >−1； 当−a =−1时，即a =1时，解得x ≠−1； 当−a >−1时，即a <1时，解得x <−1或x >−a ． 综上可知，当a <1时，不等式的解集为；当a ≥1时，不等式的解集为．【解析】本题考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式与相应函数方程的关(1)根据一元二次不等式解法可知1，2为方程f(x)=0的两个根，然后利用韦达定理求解即可；(2)化简f(x)=x2+(a+1)x+a=(x+a)(x+1)>0，讨论a的取值分别求解不等式即可，含有参数的一元二次不等式要注意根大小的比较．18.【答案】解：(1)由题意知，当m=0时，x=2(万件)，则2=4−k，解得k=2，x=4−2m+1．因为每件产品的销售价格为12+24xx(元)，所以2020年的利润y=x⋅12+24xx −8−16x−m=36−16m+1−m(m≥0)．(2)当m≥0时，m+1>0，所以16m+1+(m+1)≥2√16=8，当且仅当m=3时等号成立．所以y≤−8+37=29，当且仅当16m+1=m+1，即m=3万元时，y max=29(万元)．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．【解析】本题考查函数模型的应用，求解析式，基本不等式求最值，属于中档题．(1)先求k，进而求出利润y与m的关系式；(2)利用基本不等式求最值，注意成立的条件．19.【答案】解：(1)原式=1+(12)2⋅(94)−12−[(0.1)2]0.5 =1+14×23−110=1615；(2)因为：1−log63=log66−log63=log62；所以：原式=(log 62)2+log 62⋅log 618log 622=log 62(log 62+log 618)2log 62=1．【解析】本题主要考查指数幂的运算和对数的运算，属于基础题． (1)利用指数幂的运算性质进行化简即可; (2)利用对数的运算性质进行化简求值．20.【答案】 解：(1)集合，所以∁R A =[−3,5]，集合B ={x ∈R|2x 2−(a +10)x +5a ≤0}={x ∈R|(2x −a)(x −5)≤0}， 若B ⊆∁R A ， 只需−3≤a2≤5， 所以−6≤a ≤10．(2)由(1)可知的充要条件是a ∈[−6,10]， 选择①，则结论是既不充分也不必要条件； 选择②，则结论是必要不充分条件； 选择③，则结论是充分不必要条件．【解析】本题考查不等式的解法，由集合关系求参数范围，判定充分必要条件，属于中档题．(1)先求集合A ，B ，∁R A ，再由B ⊆∁R A 得到a 的不等式，解得即可；第11页，共13页(2)结合(1)利用充分必要条件的定义逐一判定．21.【答案】解：(1)函数f(x)=xx +4是定义域(−2,2)上的奇函数，理由如下，任取x ∈(−2,2)，有f(−x)=−x (−x)2+4=−xx 2+4=−f(x)， 所以f(x)是定义域(−2,2)上的奇函数；(2)证明：设x 1，x 2为区间(−2,2)上的任意两个值，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1x 12+4)−(x2x 22+4)=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4)；因为−2<x 1<x 2<2， 所以x 2−x 1>0，x 1x 2−4<0， 即f(x 1)−f(x 2)<0；所以函数f(x)在(−2,2)上是增函数；(3)由(1)(2)可知x ∈(−2,2)时，f(x)<f(2)=14．所以(a −2)t +5≥14，即at −2t +194≥0，对a ∈[−3,0]都恒成立，令g(a)=at −2t +194，a ∈[−3,0]，则只需{g(−3)≥0g(0)≥0， 解得t ≤1920故t 的取值范围(−∞,1920]．【解析】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．(1)利用奇偶性的定义判断函数f(x)是定义域上的奇函数；第12页，共13页(2)根据单调性的定义证明f(x)是(−2,2)上的增函数；(3)由(1)(2)，得关于a ，t 的不等式，由a ∈[−3,0]都恒成立，根据单调性可以求t 的取值范围．22.【答案】解：(1)函数ℎ(x)=x 2+(m −12)x +b(m 、b 是常数)在区间上是“弱增函数”，所以ℎ(x)=x 2+(m −12)x +b 在区间上是增函数，则−m−122⩽0，解得：m ≥12，所以ℎ(x)x=x +bx +(m −12)在区间上是减函数，则√b ≥1，解得：b ≥1;(2)因为f(x)=|x −1|+|x −2|+|x −3|+k|x −4|当x <1时，f(x)=−(k +3)x +(6+4k)，f(x)x=−(k +3)+6+4k x；使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{−(k +3)>06+4k >0，无解；当1≤x <2时，f(x)=−(k +1)x +(4+4k)，f(x)x=−(k +1)+4+4k x；使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{−(k +1)>04+4k >0，无解；当2≤x <3时，f(x)=(1−k)x +4k ，f(x)x=(1−k)+4k x；使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{1−k >04k >0, 解得0<k <1；当3≤x <4时，f(x)=(3−k)x +(4k −6)，f(x)x=(3−k)+4k−6x；使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{3−k >04k −6>0, 解得32<k <3；第13页，共13页当x ≥4时，f(x)=(3+k)x +(−4k −6)，f(x)x=(3+k)+−4k−6x；使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{3+k >0−4k −6>0，解得−3<k <−32；综上所述：k 的取值范围是(−3,−32)∪(0,1)∪(32,3)【解析】本题考查函数的新定义，考查函数单调性，属于较难题． (1)根据“弱增函数”的定义得到，ℎ(x)=x 2+(m −12)x +b 在区间上是增函数，由二次函数的性质得到m 的取值范围，再利用ℎ(x)x=x +bx +(m −12)在区间上是减函数，得到b 的取值范围即可求解；(2)对x 的范围进行讨论去掉绝对值，结合“弱增函数”的定义以及单调性逐段判断即可．。