推导出
1 1
0 p
方差
Green函数
方差
AR(1)模型的Green函数 和方差
Green函数定义
AR模型的传递形式
xt
t
(B)
p i 1
p 0
E(
t
)
0，Var(
t
)
2
,
E(
t
s
)
0,
s
t
Exs
t
0, s
t
特别当0=0时，称为中心化AR(p)模型
AR(p)序列中心化变换
称{yt}为{xt}的中心化序列 ，令
0
1 1 p
yt xt
自回归系数多项式
引进延迟算子，中心化AR(p)模型又 可以简记为
(B)xt t
平稳域判别
平稳域 {1,2, ,p 特征根都在单位圆内}
AR(1)模型平稳条件
AR(1)模型 特征方程 特征根 平稳域
xt 1xt1 t
1 0
1
1 1
AR(2)模型平稳条件
AR(2)模型
平稳域
xt 1xt1 2 xt2 t
特征方程
2 1 2 0
特征根
1 1
(2)xt 1.1xt1 t
(4)xt xt1 0.5xt1 t
判别方法
特征根判别 平稳域判别 AR(1)模型平稳条件 AR(2)模型平稳条件
特征根判别
AR(p)模型平稳的充要条件是它的 p个特征根都在单位圆内
根据特征根和自回归系数多项式 的根成倒数的性质，等价判别条 件是该模型的自回归系数多项式 的根都在单位圆外
3.2.1 AR模型
AR模型的定义 AR模型平稳性判别 平稳AR模型的统计性质
AR模型的定义
AR(p)的定义 AR(p)的中心化变换 自回归系数多项式 AR(p)的特征方程 特征方程与系数多项式
AR(p)的定义
具有如下结构的模型称为p阶自回归模型， 简记为AR(p)
xt 0 1 xt1 2 xt2 p xt p t
第三章
平稳时间序列分析
本章结构
方法性工具 ARMA模型的性质 平稳序列建模 序列预测 练习与补充
3.1 方法性工具
差分运算 延迟算子 线性差分方程
差分运算
一阶差分 p阶差分 k步差分
xt xt xt1
p xt
x p1 t
p1 xt1
k xt xt xtk
延迟算子
B(xt yt ) xt1 yt1 B n xt xtn
n
(1 B)n
(1)
n
C
i n
B
i
i0
用延迟算子表示差分运算
p阶差分
p
p xt (1 B) p xt
(1)
p
C
i p
xt
i
i0
k步差分
k xt xt xtk (1 Bk ) xt
线性差分方程
线性差分方程
(1) xt 0.8 xt1 t (2) xt 1.1xt1 t (3) xt xt1 0.5 xt2 t (4) xt xt1 0.5 xt1 t
例3.1平稳序列时序图
(1)xt 0.8xt1 t
(3)xt xt1 0.5xt2 t
例3.1非平稳序列时序图
延迟算子的定义 延迟算子的性质 用延迟算子表示差分运算
延迟算子的定义
延迟算子类似于一个时间指针，当前序 列值乘以一个延迟算子，就相当于把当 前序列值的时间向过去拨了一个时刻
记B为延迟算子，有
xtp B p xt ,p 1
延迟算子的性质
B0 1
B(c xt ) c B(xt ) c xt1, c为任意常数
非齐次线性差分方程的通解
齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的
特解之和zt
zt zt zt
3.2 ARMA模型的性质
AR模型（Auto Regression Model）
MA模型（Moving Average Model）
ARMA模型（Auto Regression Moving Average model）
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
齐次线性差分方程
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p 0
齐次线性差分方程的解
特征方程
p a1p1 a2p2 ap 0
特征方程的根称为特征根，记作1,2,…,p
齐次线性差分方程的通解
不相等实数根场合
结 论
平稳
非 平稳
平稳
非 平稳
平稳AR模型的统计性质
均值 方差 协方差 自相关系数 偏自相关系数
均值
如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有
Ext E(0 1xt1 p xt p t ) 根据平稳序列均值为常数，且{ t }为白噪声序
列，有
Ext , E(t ) 0 ,t T
自回归系数多项式
(B) 11B 2B2 pBp
特征方程
中心化AR(p)模型
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
可以看成p阶常系数非齐次线性差分方程
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
它对应的齐次方程的特征方程为
p 1 p1 p1 p 0
也称为AR(p)模型的特征方程
的根与系数多项式
(u) 11u 2u2 pup
的零点根互为倒数
AR模型平稳性判别
判别原因 判别方法
判别原因
AR模型是常用的平稳序列的拟 合模型之一，但并非所有的AR 模型都是平稳的
例如
例3.1:考察如下四个模型的平稳性
zt c11t c2t2 cptp
有相等实根场合
zt
(c1
c2t cd t d1)1t
cd
t
1 d
1
cptp
复根场合
zt
rt (c1eit
c2eit
) c3t3
c
t
pp
非齐次线性差分方程的解
非齐次线性差分方程的特解
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解zt’’
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
12 42
2
2 1
12 42
2
{1,2 2 1，且2 1 1}
例3.1平稳性判别
模 型
特征根判别
(1)
1 0.8
(2)
1 1.1
(3)
1
1 2
i
2
1i 2
(4)
1
1 2
3
2
1 2
3
平稳域判别 0.8 1.1
2 0.5,2 1 0.5,2 1 1.5 2 0.5,2 1 1.5,2 1 0.5