第24讲圆的基本性质陕西《中考说明》陕西2012～2014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重考点1圆的主要概念理解圆及其有关概念————————————考点2圆的有关性质1.了解弧、弦、圆心角的关系；2.了解并探索点与圆的位置关系；3.知道圆周角与圆心角的关系及直径所对的圆周角为直角；90°的圆周角所对的弦是直径；4.了解三角形的内心和外心；5.探索圆的性质2014 填空题16 3以动点和求最值的形式考查垂径定理、勾股定理、图形面积的计算等2013 填空题16 3圆与三角形结合，涉及三角形中位线、圆周角定理、直角三角形的性质2012 选择题9 3垂径定理的有关计算，涉及勾股定理和正方形的性质2.5%和填空为主，分值为3分，综合性较强，难度较大，如2013年和2014年的第16题，都涉及圆中的动点问题，对学生的理解能力要求较高．预计2015年中考对本节内容的考查仍会出现在选择或填空的压轴题位置，考查垂径定理或圆周角定理的有关计算．1．主要概念(1)圆：平面上到__定点__的距离等于__定长__的所有点组成的图形叫做圆．__定点__叫圆心，__定长__叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫__弧__，连接圆上任意两点的线段叫__弦__，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的__弦__．(3)圆心角：顶点在__圆心__，角的两边与圆相交的角叫圆心角．(4)圆周角：顶点在__圆上__，角的两边与圆相交的角叫圆周角．(5)等弧：在__同圆或等圆__中，能够完全__重合__的弧．2．圆的有关性质(1)圆的对称性：①圆是__轴对称__图形，其对称轴是__过圆心的任意一条直线__．②圆是__中心对称__图形，对称中心是__圆心__．③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．(2)垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径__平分弦__，并且__平分弦所对的两条弧__．垂径定理的推论：①平分弦(不是直径)的直径__垂直于弦__，并且__平分弦所对的两条弧__；②弦的垂直平分线__经过圆心__，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦__相等__．②推论：在同圆或等圆中，如果两个__圆心角__、__两条弧__、__两条弦__、__两条弦心距__中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．(4)圆周角定理及推论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一半__．圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧__相等__．②半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__；90°的圆周角所对的弦是__直径__．(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：①点P在圆上⇔__d＝r__；②点P在圆内⇔__d<r__；③点P在圆外⇔__d>r__．(6)过三点的圆：①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边__垂直平分线__的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．(7)圆的内接四边形：圆内接四边形的对角__互补__．(8)正多边形和圆的关系①把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆；②如图所示，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3．相关辅助线一个防范对垂径定理的理解，同学们往往把定理所需要的条件遗漏，如容易漏掉经过圆心或者垂直，而这两个条件必须同时具备．一种思想分类讨论思想：在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性．对于这种多解题必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏．如：圆周角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的．两条辅助线(1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形；(2)有关直径的问题，常作直径所对的圆周角．1．(2012·陕西)如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为( C )A．3 B．4 C．3 2 D．4 2,第1题图) ,第2题图)2．(2014·陕西)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O 上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是__42 __．3．(2013·陕西)如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为7，则GE＋FH 的最大值为__10.5__.圆周角与圆心角的关系【例1】(2014·山西)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为( B )A．30°B．40°C．50°D．80°【点评】当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，通过相等的弧把角联系起来．1．(2014·临沂)如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为( B ) A．25° B．50°C．60° D．80°点与圆的位置关系【例2】矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，P点在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( C )A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可．2．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( A )A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外垂径定理及应用【例3】(2014·南宁)在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为( A )A．40 cm B．60 cmC．80 cm D．100 cm【点评】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理、方程思想．3．(2014·哈尔滨)如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE ，BC ＝CE.(1)求∠ACB 的度数；(2)过点O 作OF⊥AC 于点F ，延长FO 交BE 于点G ，DE ＝3，EG ＝2，求AB 的长．解：在△AEB 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，AE ＝ED ，∠AEB ＝∠DEC，∴△AEB ≌△DEC(ASA )，∴EB ＝EC ，又∵BC＝CE ，∴BE ＝CE ＝BC ，∴△EBC 为等边三角形，∴∠ACB ＝60°(2)解：∵OF⊥AC，∴AF ＝CF ，∵△EBC 为等边三角形，∴∠GEF ＝60°，∴∠EGF ＝30°，∵EG ＝2，∴EF ＝1，又∵AE ＝ED ＝3，∴CF ＝AF ＝4，∴AC ＝8，EC ＝5，∴BC ＝5，作BM⊥AC于点M ，∵∠BCM ＝60°，∴∠MBC ＝30°，∴CM ＝52，BM ＝BC 2－CM 2＝532，∴AM ＝AC －CM＝112，∴AB ＝AM 2＋BM 2＝7试题 △ABC 内接于半径为r 的⊙O，且BC ＞AB ＞AC ，OD ⊥BC 于D ，若OD ＝12r ，求∠A的度数．错解 解：当圆心O 在△ABC 内时，如图，连接OB ，OC.∵OD ＝12r ＝12OC ，OD ⊥BC ，∴∠OCD ＝30°，∴∠DOC ＝60°.同理，∠BOD ＝60°，∴∠BOC ＝120°，∴∠A ＝60°.当圆心O 在△ABC 外时，如图，同上，可求得∠BOC＝120°，∴∠A ＝∠BOC ＝120°.综上，∠A的度数为60°或120°.剖析 上述解法看上去好像思考周全，考虑了两种情况，其实又错了，因为BC ＞AB ＞AC ，BC 是不等边△ABC 的最大边，所以∠A＝60°不正确，产生错误的根源是图画得不准确，忽视了圆心的位置，实际上本题的圆心应在△ABC 的外部．正解 解：∵OD＝12r ＝12OC ，OD ⊥BC ，∴∠OCD ＝30°，∠DOC ＝60°.同理，∠BOD ＝60°，∴∠BOC ＝120°，∴BAC ︵度数为120°，BmC ︵度数为240°，∴∠A ＝120°.。