第22讲 圆的基本性质
重难点 垂径定理及圆周角定理(含推论)
如图，△ABC 内接于⊙O，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结
论：①AB⊥DE；②AE＝BE ；③OD＝DE ；④∠AOE＝∠C；⑤AE ︵＝12
AEB ︵.正确结论的个数是(C )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【拓展提问1】 若AB ＝12，DE ＝4，则⊙O 的半径为6.5．
【拓展提问2】 若∠C＝60°，AB ＝12，则DE 的长度是
【拓展提问3】 若⊙O 的半径为8，将AEB ︵沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 方法指导(1)对于一圆和一条直线来说，下列五个条件：①垂直于弦；②过圆心；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．如果具备其中两个，就能推出其他三个，简称为“知二得三”．如例题考查由②过圆心、③平分弦(不是直径)这两个条件推出其他三个结论．
(2)运用垂径定理及其推论求线段长的关键是构造直角三角形．
最常用的方法是连接圆心和圆中弦的一个端点，若弦长为l ，圆心到弦的距离为d ，半径为r ，根据勾股定理有如下公式： 12
l ＝r2－d2. 或在直角三角形中，已知一直角边与斜边的关系，得到角度关系，再利用三角函数求解．
⊙O 是△ABC 的外接圆，P 是⊙O 上的一个动点．
(1)当BC 是⊙O 的直径时，如图1，连接AP ，BP.若∠BAP＝30°，BP ＝3，求⊙O 的半径；
(2)当∠APC＝∠CPB＝60°时，如图2，连接AP ，BP ，PC. ①判断△ABC 的形状：等边三角形；
②试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论．
图1 图2
【思路点拨】 (1)连接PC ，则可得∠BAP＝∠BCP＝30°，在Rt △BCP 中求出BC ，继而可得⊙O 的半径．
(2)①利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，
从而可判断△ABC 的形状；②在PC 上截取PD ＝AP ，则△APD 是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP ＝CD ，即可证得．
【自主解答】 解：(1)连接PC.
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BPC ＝90°.
∵∠BAP＝∠BCP＝30°，BP ＝3，
∴BC＝6.
∴⊙O 的半径为3.
(2)②证明：在PC 上截取PD ＝AP.
又∵∠APC＝60°，
∴△APD 是等边三角形．
∴AD＝AP ＝PD ，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°.
又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB.
在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB＝∠ADC，∠ABP＝∠ACD，AP ＝AD ，
∴△APB≌△ADC(AAS )．
∴BP＝CD.
又∵PD＝AP ，
∴CP＝CD ＋PD ＝BP ＋AP. 例题剖析
1．本题源于人教版教材九上P 90第14题，考查的核心知识点是圆周角定理及其推论．
2．在本题的解答过程中，有两点必须注意：
①由BC 是直径，可连接PC 构造直角三角形，同时也得到了同弧所对的圆周角相等，从而把已知角和已知边转移到同一个三角形内；
②证明不在同一条直线上的三条线段的数量关系最常用的方法是通过截长补短法证明三角形全等． 例题剖析
1．本题源于人教版教材九上P 90第14题，考查的核心知识点是圆周角定理及其推论．
2．在本题的解答过程中，有两点必须注意：
①由BC 是直径，可连接PC 构造直角三角形，同时也得到了同弧所对的圆周角相等，从而把已知角和已知边转移到同一个三角形内；
②证明不在同一条直线上的三条线段的数量关系最常用的方法是通过截长补短法证明三角形全等．
【拓展提问】 ③若⊙O 的半径为1，当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？并求出最大面积．
【自主解答】 解：当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大．
理由如下：。