【名师点拨】应用定理时，一定注意“在同圆或等圆 中”的条件，同时要注意：(1)一条弦所对的弧有两条； (2)一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角
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基础点5 圆内接四边形的性质
1．圆内接四边形的对角30 ＿互_补___，如 图，∠A＋∠BCD＝ 31_18_0_°，∠B＋∠D＝ 32 _1_8_0_°； 2．圆内接四边形的任意一个外角等于 它的 33 _内__对__角_(和它相邻的内角的对 角)如图，∠DCE＝ 34 _∠__A_．
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基础点6 正多边形与圆的关系
以正六边形为例： 名称 正六边形
内角
120°
外角
60°
中心角 边长
60° R
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在Rt△OAB中，r2+
R
＝

R2,
即边心距r＝ R .

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答：不一定相等．圆内同一条弦所对的圆周角
互补或相等，如解图，弦AB所对的圆周角为
∠ACB或∠ADB，若AB所对的圆周角分别在A⌒CB
失分点12题图
和
A周⌒D角B 上都，在则A⌒弦CBAB或所A对⌒D的B圆上周，角则互弦补A；B若所A对B的所圆对周的角圆相等．
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∴sin∠D＝sin60°＝BC
4
3 2
＝2
3
.
，∴BC＝4× 练习2题图
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第六单元 圆
第23课时 与圆有关的概念及性质
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基础点闯关
基础点1 与圆有关的概念及性质
１．圆的定义
在平面内，线段 OA绕着它固定的一 个端点 O旋 转一周，另一个端点 Ａ 所形成的封闭曲线叫做 圆，固定的端 点O叫做①＿圆＿心＿＿，线段 OA的 长叫 做②＿半＿径＿＿．以点 O为圆心的圆，记作
同弧或等弧所对 的 ＿2＿2 圆＿周＿角相
⌒ 所对的圆周角⇒∠A
BC
＝ ＿＿＿24；∠D
等，相等的圆周
角所对的弧也相 (2)⌒BC＝⌒BD⇒∠A＝
等
25＿∠＿BCD
证明 圆周 角相 等
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推论２
(1) AB是直径
半圆(或直径)所对的 ⇒∠ACB＝ 圆周角是 26 ＿直＿角，
例题图
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练习 1 (2016济宁)如图，在⊙O中，A⌒B＝ A⌒C， ∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是( C )
A. 40° B. 30° C. 20° D. 15°
【解析】如解图，连接CO，∵36 A⌒B ＝ A⌒C ，
∴∠AOC＝∠AOB＝40°，∴∠ADC＝
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4. 圆的基本性质 (1)圆的直径等于同圆或等圆半径的⑪__２____倍； (2)同圆或等圆的半径⑫相__等____； (3)弧的度数等于它所对⑬圆__心__角__的度数； (4)对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何 一条直径所在的直线都是它的对称轴，⑭_圆__心___是它的对 称中心； (5)旋转不变性：围绕着它的圆心任意旋转一个角度都能与 原来的圆重合．
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基础点2 垂径定理及其推论
1. 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的⑮两__条__弧__．
2. 推论 (1)圆的两条平行弦所夹的弧⑯相__等____． (2)一条直线如果具有：a.经过圆心，b.垂直于弦，c.平分 弦，d.平分弦所对的弧，这四条中有两条成立，则这条 直线也满足其余的两条．
(3)弦、弦心距 连接圆上两点间的线段叫做⑦__弦____；经过圆心的弦叫 做⑧_直__径___；直径是圆内最长的弦；直径等于半径的二 倍．圆心到弦的距离叫做弦心距．
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(4)圆心角、圆周角 顶点在⑨_圆__心___的角，叫做圆心角．顶点在⑩_圆__上___， 并且两边分别和圆还有另外一个交点，这样的角叫做圆 周角．
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(2)弧、半圆 圆上任意两点间的部分叫做③__弧__；圆的任意一条直径的 两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做④_半__圆___；小于 半圆的弧叫做⑤_优__弧__；大于半圆的弧叫做⑥_劣__弧__．在同 圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
28 ＿90＿°＿； 90°的圆周角所对
的弦是27 直＿径＿
(2)∠ACB＝
29 ＿＿90＿°⇒AB
(1)连直径， 得直角；(2) 确定圆的直 径
是直径
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失 分 点 12
弦所对应的圆周角“相等”陷阱
同一条弦所对应的圆周角一定相等吗？为什么？.
1 ∠AOC＝1 ×40°＝20°.
2
2
练习1题图
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练习2 (2016马鞍山市当涂县四模)如图，⊙O的直径
BD＝4，∠A＝60°，则BC的长度为 ( C )
A. 3
B. 2
C. 2 3
D.4 3
【解析】∵BD为直径，∴∠BCD
＝90°，∵∠D＝∠A＝60°，
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基础点4 圆周角定理及其推论
1．定理 内容
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ⑳＿一＿半＿
常见 图形
结论
1 ∠APB＝ ＿＿2＿∠AOB
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２．推论
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文字描述
数学符号
作用
推论１
在同圆或等圆中， (1)∠A和 23＿∠＿D 是
类型 圆周角定理及其推论
例 (2016自贡)如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝
45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是( C )
A. 15°
B. 25°
C. 30°
D. 75°
【思维教练】根据“三角形的外角等于与 它不相邻的两个内角之和”与“在同圆中 同弧所对的圆周角相等”即可求解 .
【解析】∵∠C＝∠AMD－∠A＝75° －45°＝30°，又∵∠C与∠B为同弧 所对的圆周角，∴∠B＝∠C＝30°.
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基础点3 圆心角、弧 弦、弦心距之间的关系
1. 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的⑰_弧_____相等、所 对的⑱_弦_____相等、所对弦的⑲弦_心__距___相等．
2.推论 在同圆或等圆中，(1)圆心角相等，(2)弦相等，(3)弦的 弦心距相等，(4)弦对的弧相等，如果以上四条中有一条 成立，那么另外三条也成立．
“⊙Ｏ”，叫 做“圆Ｏ”，如图．
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2. 圆的确定
不在同一直线上的三个点确定一个圆．圆心确定圆的 位置，半径确定圆的大小．
3. 圆的有关概念 (1)同心圆、等圆 同一平面上，同一圆心而半径不同的圆叫做同心圆；可以 完全重合的两个圆叫做等圆．
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