真空中的 静电场习题课
例1 计算在电偶极子延长线和中垂线上任一点的电 场强度。 解： 延长线上任一点:
q E 2 4π 0 x l 2 q E 2 4π 0 x l 2 q 2 xl 1 E A E E 4 2 2 2 4π 0 x 1 l 4 x
1 dx dE 4 π 0 r 2 1 dx dEx cos 2 4π 0 r
q L
dq dx
1 dx dE y sin 2 4π 0 r
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1 Ex cos dx 2 4π 0 r
统一变量： (r, x, )
1 Ey sin dx 2 4 π 0 r
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若为均匀带电球面，结果如何? E内=0, E外=q/40r2
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例6 求无限长带电直线的场强分布。（已知线电荷密 度为） 解：轴对称分布电荷
qi SE dS 0 E dS Ψ E1 EdS Ψ E 3
S S2
E r S1
h S2 S3
Ψ E1 Ψ E 3 0
h E 2π rh 0
E dS E 2π rh
S2
E 2 π 0 r
若为均匀带电的圆柱面或圆柱体， 结果如何?
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例7 无限大均匀带电平面的电场分布（电荷面密度为 ）。 解： 根据对称性分析，电场分布应具有 （1）沿平面方向的平移对称性，即
q SE dS
0
4 q π R3 3

r
R
E (r ) dS E (r ) 4π r
2 S
q
P
E
q 4π 0 r
2

R
0
3
3r 2
3
E
R e 3 r 2 r 3r 4π 0 r q
思考题：
立方体 E dS ？
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若选 b 点的电势为参考零点（电势零点），则 a 点 的电势为 电势零点
Va
E dl
a
视分析问题方便，可以任意选择电势零点。选择 不同的电势零点，给定电场的电势描述不同！但任 意两点间的电势差是保持不变的！ 约定 (1)在理论计算时，对有限带电体电势选无限远为参 考点；
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二、高斯定理的应用
从对称的源电荷分布求场强分布
qi Ψ E E dS S 0
带电体的电荷(场强)分布要具有高度的对称性。 常见的高对称电荷分布有 （1）球对称性：均匀带电的球体、球面和点电荷。 （2）柱对称性：均匀带电的无限长的柱体、柱面 和带电直线。 （3）平面对称性：均匀带电的无限大平板和平面。
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例5 求均匀带电球体的场强分布。（已知球体半径 为R，电荷量为q，电荷密度为）
解：对称性分析： 球对称分布电荷电场分布也 应具有球对称性
E (r ) 常量
E E ( r )er

R
r
P
当 r=常量 时
我们可以选择以球心为中心的球面为高斯面。
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（1）球外某点的场强（r ≥ R ）
离开平面相同距离的地方电场强度 大小相等： （2）对平面的反演对称性，即平 面前后相同距离的地方电场强度 大小相等： （3）电场方向沿垂直于平板平面方向。 根据电场分布性质，高斯面的选择如图所示。
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E 2 0
大小与距离无关
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无限大均匀带电平面的电场分布
( 0)
E 2 0
V 0
VP

P
E dl
(2)在实际应用中，取大地、仪器外壳等为电势零点。
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四、电势的计算 电势计算的两种方法:
（一）已知电场强度分布, 由电势的定义计算:
VP P
P0
E dl
积分路径可任意选取一个方便的路径。
（二）从点电荷的电势出发, 应用电势叠加原理计 算任何有限分布电荷系统的电势。
E dE
体电荷：dq =dV
面电荷：dq=dS 线电荷： dq =dl
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例2 真空中有均匀带电直线，长为L，总电荷为q。线 外有一点P，离开直线的垂直距离为a，P点和直线两 端连线的夹角分别为1和2 ，求P点的电场强度。 （设电荷线密度为）
解：建立直角坐标系 取线元 d x
l
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二、静电场的环路定理
A q0 E dl 0
l
q0 0
E dl 0
l
静电场中电场强度 E 的环流为零,
称静电场的环流定理。
讨论 •静电场为保守力场； •环流定理是静电场的基本方程。
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三、 电势
对于保守力场，可以引入势 能的概念——电势能。
闭合面
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（2）求球体内一点的场强（r < R）
qi SE dS
4 3 E dS π r S 0 3 1

r
0
R
4πr E 4π r 3 0
2
3
r 若电荷体密度为 0 R 情况又如何？ q ( r内) dV
r qr E er e 3 r 3 0 4π 0 R
b
q0
Aab (q0 E ) dl (Wb Wa )
b a
E
(Wb Wa ) (q0 E) dl
b a
a
如果设 b点为电势能的零点，即 Wb 0
Wa
Wb 0
a
(q0 E ) dl
通过连接 a、b 间的任意一条路径，都可以确定 出 a 点的电势能。
y>>l
ql p EB 3 3 4π 0 y 4π 0 y
EB
p 4π 0 y
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3
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3. 电荷连续分布带电体的电场强度
电荷元dq在P点的电场强度：
dE
dq e 2 r 4π 0 r
dq e 2 r 4π 0 r
P r
dq
dE
带电体在P点的电场强度：
dl
R
r x

P
x dE
根据圆环的对称性, E x dE x 0
x E E // x L dE // x LdE cos L dE r 2R qxdl qx E 2 3 方向 0 2 2 3/ 2 8π 0 Rr 4π 0 x R
2
E
q
r
dr
dl
E
点电荷场力做功与具体路径无关！
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2. 一般电荷分布的静电场中
因
与路径无关，则Biblioteka Aab 与路径无关！试验电荷在静电场中移动时，电场力所做的功只 与试验电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无 关，即静电场力是保守力。 保守力做功的特点：
A q0 E dl 0
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静电场的环路定理 电势
一、静电场力做功
dA q0 E dl q0 E cos dl
b
1. 点电荷的静电场中 q 4 π 0 r r q0 q q0 q q0 dA cos dl dr 2 2 a 4π 0 r 4π 0 r rb q q q0 q 1 1 0 Aab dr 2 ra 4π r 4π 0 ra rb 0
2. 当 a0 时, 若P点在直线上: 1 = 0，2 = , 则 E∞, 无意义， 若P点在直线延长线上: 1 = 2 = 0, 则按具体情况计算。 P
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例3 电荷q 均匀地分布在一半径为R 的圆环上，计算 在圆环的轴线上任一给定点P 的电场强度。
解： dq
q dl 2πR dq qdl dE 2 2 2 4π 0 r 8π R 0 r
r a / sin
2
x a cot
dx a csc d
cos Ex a csc 2 d 4π 0 a 2 csc 2
2 1
Ex (sin 2 sin 1 ) 4π 0 a
(cos 1 cos 2 ) 同理 E y 4π 0 a
2
P r O1 r a
O
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同理，负电荷均匀带电球体产生的电场强度：
E r 3 0
在空腔内任意点处的电场强度：
E E E ( r r ) a 3 0 3 0
腔内为均匀电场。
P r O1 r a

P
E dl Ei dl
P i
P
q1


P
E1 dl E2 dl En dl
P P
q2
q3
qn
qi VP V1 V2 Vn 电势叠加原理 i 4 π 0 ri dq VP 3. 连续分布电荷的电势 4π 0 r
dq dS 2π d
dq x dE 2 2 3/ 2 4π 0 ( x )
x
r
d
O
P dE

x
x E dE (1 2 ) 2 2 0 x R
方向
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讨论 1. 当 R
x E (1 ) 2 0 x2 R2
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sin 2 sin 1 Ex 4π 0 a