5
推广 : n ≥ 4时不定方程 x + x +L+ x
n 1 n 2 n n −1
=x
n n
是否有非平凡整数解 ?
∞ n
勾股定理 : x + y = z 有非零的正整数解:
2 2 2
3,4,5;5,12,13. 其一般解为: L x = a − b , y = 2ab, z = a + b
2 2 2 3 3 2
其中a > b为一奇一偶的正整数. 那么,3次不定方程:x + y = z 有没有非零的正整数解?
3
δ ，∆是平移和旋转变换下不变的量。
1.∆ ≠ 0, δ > 0, 为椭圆;
δ < 0, 为双曲线; δ =0为抛物线. 2.∆=0,δ > 0, 为椭圆; δ < 0为相交两直线; δ =0平行或重合两直线
奇异：稀罕、出呼意料但有引人入胜！
Hale Waihona Puke 1 = 0.166666666666666666666L 6 1 = 0.142857 142857 142857 142857 L 7 987654321 = 8.00000007290000066339 123456789 000603684905493532699 11470239L
而且 : 987654321 9 = 8+ 123456789 123456789 而 9 9 91 −10 3 = 10 = 9 10 ∑ 10 123456789 10 − 91 n = 0 10
3 ∞ n
所以 987654321 91 3 −10 = 8 + 9 10 ∑ 10 123456789 n = 0 10
平面上过点 平面上过点(x1, y1),(x2, y2)的直线 过点 的直线 方程: 方程
x x1 x2
y 1 y1 1 = 0 y2 1
平面上过点(x 平面上过点 1, y1),(x2, y2), (x3, y3) 的圆方程: 的圆方程 2 2 x +y x y 1
x +y x +y x +y
•数的表示： 所有数均可由1,2,3,5,6,7,8,9,0 表示.(称为阿拉伯数字,但是由
印度人发明的.由阿拉伯人传 到西方.)形式上和位置上意义 非凡, 绝妙非常.实际上, 0的出 现大约要晚好几百年.
23 • 6 → 23 ∪ 6 → 2306
简洁美的发展过程: 235×4=940 罗马人的算法:
美的不同表现形式有不同的形容： 壮美、俊美、秀美、柔美、优美 数学美也呈现多样性，我们分为： 简洁美、对称美、和谐美和奇异美。
简洁美是人们最欣赏的一种 美，在艺术、建筑、徽标等的 设计中最为常见。中国画更是 体现了简洁美。数学以简洁而 著称！
•大数和小数的表示： 10
221
，2
86243
，10
-900
此即为著名的费马猜想 : x +y =z
n n n
当n > 2时没有正整数解! 费马在一本书的边上写道, 他已经解决了 这个问题.但是没有留下证明在此后的300 . 年一直是一个悬念.
18世纪最伟大的数学家欧拉(Euler)证明了 n=3,4时费马定理成立； 后来，有人证明当n<10 是定理成立。 20世纪80年代以来，取得了突破性的进展。 1995年英国数学家Andrew Wiles的108页论 文解决了费马定理。他1996年获wolf奖， 1998年获Fielz奖。
十进制:符号多(10),表示上简洁,方 便人工运算,但系统复杂. 二进制:符号少(2), 表示上麻烦,方便 机器运算,但系统简单. 二进制与最简单的自然现象(信号的 二进制与最简单的自然现象 信号的 两极)结合 造就了计算机！ 结合,造就了计算机 两极 结合 造就了计算机！
其它符号的简洁美： 未知量：x,y,z 已知量：π,e, a,b,c 函数关系：f(x) 形状符号：
2 1 2 2 2 3
2 1 2 2 2 3
x1 x2 x3
y1 1 =0 y2 1 y3 1
平面上所有直线一般形式： ax + by + c = 0 平面上所有二次曲线一般形式： ax + 2bxy + cy + dx + ey + f = 0
2 2
其性质和类型取决三个量： h = a + c, δ = a b b c a b d ,∆ = b d c e e f
其它符号的简洁美：
d − × ÷ 运算符号： +， ， ， ， sin,cos, , dx
F 函数与逻辑： 函数与逻辑： = 0 ⇒ v = c,牛 顿 第 一 定 律 d F = ( m v ), 牛 顿 第 二 定 律 dt m1 m 2 ，万有引力定律 F =k 2 r
几何：点对称、线对称、面对称、 球对称。球面被认为最完美！ 代数与函数论：共轭数（共轭复数、 共轭空间）。 运算：交换律、分配律，函数与反 函数运算。
二项式定理的展开式中的系数构成 的杨辉三角形： 的杨辉三角形：
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 5 1
命题变换中： 命题变换中： 命题 逆命题 否命题 逆否命题
统一与和谐美是数学美的又一侧面， 统一与和谐美是数学美的又一侧面， 它比对称美具有广泛性。 它比对称美具有广泛性。以几何与 代数的和谐与统一的表现为例： 代数的和谐与统一的表现为例：行 列式与矩阵
CCXXXV IV CCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVV DCCC 表示900 CMXL CXX XX 表示40
十进制与二进制:十进制:89 89= 1 2 +0 2 + 1 × 2 + 1 1× +0× ×2 +0×2 +0×2 +1×2 二进制:1011001
3 2 1 0 6 5 4