方法：（分离参数） 2ax ? 3x2 ? 3恒成立
a ? 3x2 ? 3 , 2x
a
?
3x2 ? (
2x
3 )min
令 g( x ) ? 3 x 2 ? 3 , x ? [2,4]
2x
2020/4/4
3
练习1： 已知函数f (x) ? x3 ? ax ? 3x ?1在[0, ?? )上是单调递增函数，
a 3
f
? '(
0 a
) 3
?
0
a? 6 29
分类讨论法：
在利用函数的单调性求参数的取值范围时， 当导函数可化为二次函数形式时，应注意
从对称轴，区间端点函数值方面考虑
2020/4/4
10
例3：设函数f (x) ? 1 ax2 ? (2a ? 1)x ? 2 ln x.试讨论f (x)的单调区间 2
a
2
a
f (x)在（2，1 ）上为减函数。 a
3)当1 ? 2即a ? 1 时，f (x)在（0，1 ）和（2,?? )上为增函数;
a
2
a
f (x)在（1 ，2）上为减函数。
a
2020/4/4
12
综上：
(1)当a ? 0时，f (x)在（0,2）上递增，在（2，? ? ）上递减。
(2)当a ? 1 时，f (x)在（0，? ? ）上为增函数。
?
2
结合二次函数图象知 f (x)在（0,2）上递增；
2020/4/4 在（2，? ? ）递减。
11
(3)当a
?
0时，令f '(x) ?
0, 得x1
?
1 a
?
0.x2
?
2
1)当1 ? 2即a ? 1 时，f (x)在（0，? ? ）上为增函数。
a
2
2)当1 ? 2即0 ? a ? 1 时，f (x)在（0，2）和（1 ,?? )上为增函数;
2020/4/4
4
练习2： 若函数f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 1在（0,2）内单调递减, 求实数a的取值范围.
解析：
f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax , x ? (0,2)
则f ' ( x) ? 0在（0,2）上恒成立
即 2 ax ? 3 x 2
a ? 3 x , x ? (0,2)
解：函数的定义域(0,?? )
f '(x) ? ax ? (2a ? 1) ? 2 ? (ax ? 1)( x ? 2)
x
x
(1)当a ? 0时，f ' (x) ? 2 ? x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2，? ? ）上递减。
(2)当a
?
0时，令f '(x) ?
0, 得x1
?
1 a
?
0.x2
/4/4
2
例1：已知函数f (x) ? x3 ? ax2 ? 3x? 1在[2,4]上是单调递增函数，
求参数a的取值范围.
解：
f '(x) ? 3x2 ? 2ax ? 3, x ? [2,4]
则f '(x) ? 0在[2,4]上恒成立
即3x 2 ? 2ax ? 3 ? 0, 恒成立 x ? [2,4]
2
(3)当0 ? a ? 1 时，f (x)在（0，2）和（1 ,?? )上为增函数;
2
a
f (x)在（2，1 ）上为减函数。 a
(4)当a ? 1 时，f (x)在（0，1 ）和（2,?? )上为增函数;
2
a
f (x)在（1 ，2）上为减函数。 a
2020/4/4
13
练习1：
(2011辽宁理）已知函数 f(x)= ln x ? ax2 ?（2 ? a）x,讨论函数f(x)的单调性
解:
2020/4/4
f ' (x) ? 3x2 ? 2ax ? (a 2 ? 1) ? 0, x ? [0,?? )
[3x2 ? 2ax ? (a 2 ? 1)]min ? 0, x ? [0,?? )
y
① ?? a ? 0 ?3 ?? f ' ( 0 ) ? 0
a ? ?1
o
x
②
? ?? ? ? ??
2
a
?
(3 2
x )max
,
x?
(0,2),
a?3
2020/4/4
5
分离参数法： 分离参数 构造函数g(x) 求g(x) 的最值 求得参数范围
2020/4/4
6
例2：已知函数f (x) ? x3 ? 3ax2 ? 2a2x ?1在[0,2]上是单调递增函数 求参数a的取值范围.
解： f ' ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 2a 2 , x ? [0,2] 则f ' ( x) ? 0在[0,2]上恒成立 即3x 2 ? 6ax ? 2a 2 ? 0恒成立， x ? [0,2] 即f ' ( x)min ? 0, x ? [0,2]
解：f (x)的定义域为（0，? ? ）
f ?(x) ? 1 ? 2ax ?（2 ? a）? ? (2 x+1)(ax ? 1)
x
x
当a ? 0时, f ?(x) ? 0,故f (x)在（0，? ? ）单调递增 ;
当a ? 0时,令f ?(x) ? 0，解得x ? 1 a
则当x? (0, 1 )时，f ?(x) ? 0; x ? ( 1 , ?? )时，f ?(x) ? 0
求参数a的取值范围.
解：
f ' ( x ) ? 3x 2 ? a ? 3, x ? [ 0,?? )
则f ' ( x) ? 0在[ 0,?? )上恒成立
即3x 2 ? a ? 3 ? 0, 恒成立 x ? [ 0,?? )
方法：（分离参数）
a ? 3x2 ? 3恒成立
a ? (3x2 ? 3)min ? a?3
而f '(x)为二次函数，开口向上 ， 对称轴为x ? a
2020/4/4
7
f ' ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 2a 2 ? 0, x ? [0,2]
即(3x 2 ? 6ax ? 2a 2 )min ? 0, x ? [0,2]
y
o
x 2
X=a
X=a
X=a
2020/4/4
8
练习1：设a为实数，函数 f (x) ? x3 ? ax 2 ? (a 2 ? 1)x在 [0，? ? ）上是增函数, 求a的取值范围.
a
a
故f (x)在(0, 1 )单调递增，在 ( 1 , ?? )单调递减。
利用函数单调性求参数的 取值范围
2020/4/4
1
复习
1 用导数判断函数单调性法则: 、
如果在(a,b)内， f ?(x)＞0，则f (x)在此区间是增函数；
如果在(a,b)内，f ?(x)＜0，则f (x)在此区间是减函数。
2、求函数单调区间的一般步骤是
1、求定义域 2、求导 f'(x)
3、令f'(x)>0, 求出增区间，令 f'(x)<0, 求出减区间。