帮你归纳总结(五）：导数中的求参数取值范围问题 一、常见基本题型：（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数()f x 增区间，则在此区间上 导函数()0f x '≥，如已知函数()f x 减区间，则在此区间上导函数()0f x '≤。
（2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。
例1.已知a ∈R ，函数2()()exf x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数）（1）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围；（2）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明 理由.解： （1）2-()()e xf x x ax =-+Q-2-()(2)e ()(e )xxf x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e xx a x a ⎡⎤-++⎣⎦.()()f x 要使在-1,1上单调递减， 则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立，2(2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2()(2)g x x a x a =-++，则(1)0,(1)0.g g -≤⎧⎨≤⎩1(2)01(2)0a a a a +++≤⎧∴⎨-++≤⎩, 32a ∴≤-.（2）①若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立即2-(2)e 0xx a x a ⎡⎤-++≤⎣⎦ 对x ∈R 都成立.2e0,(2)0xx a x a ->∴-++≤Q 对x ∈R 都成立令2()(2)g x x a x a =-++，Q 图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立②若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立，即2-(2)e 0xx a x a ⎡⎤-++≥⎣⎦ 对x ∈R 都成立，e 0,x ->Q 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立.22(2)440a a a ∆=+-=+>Q故函数()f x 不可能在R 上单调递增.综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数例2：已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈,若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45o ，对于任意[1,2]t ∈，函数()32/[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围； 解： /(2)1,22af a =-==-由32/2()2ln 23()(2)2, ()3(4)22f x x x mg x x x x g x x m x ∴=-+-∴=++-=++- 令/()0g x =得，2(4)240m ∆=++>故/()0g x =两个根一正一负，即有且只有一个正根 Q 函数()32/[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数 ∴/()0g x =在(,3)t 上有且只有实数根Q ///(0)20,()0,(3)0g g t g =-<∴<>∴237, (4)233m m t t >-+<-故243m t t +<-，而23y t t =-∈在t [1,2]单调减， ∴9m <-，综合得3793m -<<-例3.已知函数14341ln )(-+-=xx x x f ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设42)(2-+-=bx x x g ，若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥ 恒成立，求实数b 的取值范围． 解：（I ）14341ln )(-+-=xx x x f 的定义域是(0,)+∞22243443411)(x x x x x x f --=--=' 由0>x 及0)(>'x f 得31<<x ；由0>x 及0)(<'x f 得310><<x x 或， 故函数)(x f 的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3(,)1,0(∞+ （II ）若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立， 问题等价于max min )()(x g x f ≥，由（I ）可知，在(0,2)上，1x =是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以min 1()(1)2f x f ==-； []2()24,1,2g x x bx x =-+-∈当1b <时，max ()(1)25g x g b ==-；当12b ≤≤时，2max ()()4g x g b b ==-；当2b >时，max ()(2)48g x g b ==-；问题等价于11252b b <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或212142b b ≤≤⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或21482b b >⎧⎪⎨-≥-⎪⎩解得1b <或12b ≤≤或 b ∈∅即2b ≤，所以实数b的取值范围是,⎛-∞ ⎝⎦。
例4．设函数22()ln ,()f x x m x h x x x a =-=-+,(1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的 取值范围．解：(1)由a ＝0，f (x )≥h (x )，可得－m ln x ≥－x ，x ∈(1，＋∞)，即m ≤xln x.记φ(x )＝xln x，则f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立等价于m ≤φ(x )min .求得φ′(x )＝ln x －1ln 2x 当x ∈(1，e)，φ′(x )＜0； 当x ∈(e ，＋∞)时，φ′(x )＞0. 故φ(x )在x ＝e 处取得极小值，也是最小值，即φ(x )min ＝φ(e)＝e ，故m ≤e.(2)函数k (x )＝f (x )－h (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x －2ln x ＝a ，在[1,3]上恰有两个相异实根． 令g (x )＝x －2ln ，则g ′(x )＜1－2x.当x ∈[1,2)时，g ′(x )＜0；当x ∈(2,3]时，g ′(x )＞0.∴g (x )在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数．故g (x )min ＝g (2)＝2－2ln2. 又g (1)＝1，g (3)＝3－2ln3， ∵g (1)＞g (3)，∴只需g (2)＜a ≤g (3)． 故a 的取值范围是(2－ln2,3－2ln3].二、针对性练习1.已知函数2()ln .f x x a x =+若函数()()2g x f x x =+在[1，4]上是减函数，求实数a 的取值范围。
解：由x x a x x g 2ln )(2++=，得222)(xx a x x g -+='．又函数xx a x x g 2ln )(2++=为[1，4]上的单调减函数。
则0)(≤'x g 在[1，4]上恒成立，．所以不等式0222≤-+x x a x 在[1，4]上恒成立．即222x xa -≤在[1，4]上恒成立。
设222)(x xx -=ϕ，显然)(x ϕ在[1，4]上为减函数，所以)(x ϕ的最小值为.263)4(-=ϕa ∴的取值范围是.263-≤a 2.已知函数()1xf x e x =--（1）若存在4[1,ln ]3x ∈-，使10xa e x -++<成立，求a 的取值范围； （2）当0x ≥时，2()f x tx ≥恒成立，求t 的取值范围.解:（1）1,xa e x <--即().a f x <令'()10,0.x f x e x =-==0x >Q 时，'()0,0f x x ><时，'()0.f x <()f x ∴在(,0)-∞上减，在(0,)+∞上增.又041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ∴的最大值在区间端点处取到.11444(1)11,ln ,1ln333f e f e -⎛⎫-=-+==-- ⎪⎝⎭， 4144114(1)ln 1ln ln 0,33333f f e e ⎛⎫--=-++=-+> ⎪⎝⎭∴ 4(1)ln ,()3f f f x ⎛⎫->∴ ⎪⎝⎭在41,ln 3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值为1,e故a 的取值范围是1a e <，（3）由已知得0x ≥时，210xe x tx ---≥恒成立，设2()1.x g x e x tx =---'()12.x g x e tx ∴=--由（2）知1,xe x ≥+当且仅当0x =时等号成立，故'()2(12)g x x tx t x≥-=-，从而当120,t -≥即12t ≤时，'()0(0),()g x x g x ≥≥∴为增函数，又(0)0,g =于是当0x ≥时，()0,g x ≥即2()f x tx ≥，12t ∴≤时符合题意.由1(0)xe x x >+≠可得1(0),xex x ->-≠从而当12t >时，'()12(1)(1)(2),x x x x x g x e t e e e e t --<-+-=--故当(0,ln 2)x t ∈时，'()0,()g x g x <∴为减函数，又(0)0,g =于是当(0,ln 2)x t ∈时，()0,g x <即2(),f x tx ≤故1,2t >不符合题意.综上可得t 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3.已知函数ln(1x f (x)x+=），设3h(x)xf (x)x ax =--在（0，2）上有极值，求a 的取值范围. 解：由3h(x)x f (x)x ax =⋅--可得，。