1 ' 利用导数求参数的取值范围
一．已知函数单调性，求参数的取值范围
类型 1．参数放在函数表达式上
例１． 设函数 f (x ) = 2x 3 - 3(a + 1)x 2 + 6ax + 8其中a ∈ R ．
(1) 若f (x )在x = 3处得极值, 求常数a 的值.
(2) 若f (x )在(-∞,0)上为增函数, 求a 的取值范围
二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围
类型１．参数放在不等式上
例 3.已知 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c 在x = - 2
与x = 1时都取得极值 3
（1） 求ａ、ｂ的值及函数 f (x ) 的单调区间．
（2） 若对 x ∈[-1,2],不等式f (x ) < c 2 恒成立，求ｃ的取值范围．
3. 已知函数f (x ) = x 3 - x 2 - 2x + 5, 若对任意x ∈[-1,2]都有f (x ) > m 则实数m 的取值范围是
类型 2．参数放在区间上
例４．已知三次函数 f (x ) = ax 3 - 5x 2 + cx + d 图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且 f (x ) 在 x=3 处有极值.
（1）求 f (x ) 的解析式.（2）当 x ∈ (0, m ) 时, 分析:(1) f (x ) = x 3 - 5x 2 + 3x + 9
(2). f ' (x ) = 3x 2 - 10x + 3 = (3x - 1)(x - 3)
f (x ) >0 恒成立,求实数 m 的取值范围.
由f ‘ (x ) = 0得x = 1 , x 3 2 = 3当x ∈ (0, )时f (x ) > 0, f (x )单调递增， 所以f (x ) > 3 f (0) = 9 当x ∈ (1 ,3)时f ' (x ) < 0, f (x )单调递减, 所以f (x ) > 3
f (3) = 0 所以当m > 3时f (x ) > 0在(0, m )内不恒成立， 当且仅当m ∈ (0,3]时f (x ) > 0在(0, m )内恒成立
所以m 的取值范围为(0,3]
基础训练：
4. 若不等式x 4 - 4x 3 ≥ 2 - a 对任意实数x 都成立， 则实数a 的取值范围是 .
1 2
0 0 0 0 ⎩
0 0 0
三．知函数图象的交点情况，求参数的取值范围．
例 5.已知函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 - 3x 在x = -1, x = 1处取得极值
(1) 求函数 f (x ) 的解析式.
(2) 若过点 A (1, m )(m ≠ -2) 可作曲线 y= f (x ) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.
略解(1)求得 f (x ) = x 3 - 3x
(2)设切点为 M (x 0 , x 3 - 3x ),因为f
' (x ) = 3x 2 - 3 所以切线方程为y - m = (3x 2 - 3)(x - 1), 又切线过点M
所以x 3 - 3x - m = (3x 2 - 3)(x - 1)
即2x 3 - 3x 2 + m + 3 = 0 * 0 0
因为过点A 可作曲线的三条切线, 所以关于x 0的方程* 有三个不同的实数根
设g (x ) = 2x 3 - 3x 2 + m + 3则g ' (x ) = 6x 2 - 6x 0 0 0 0 0 0
由g ' (x ) = 0得x = 0或x = 1 所以g (x 0 )在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增, 在(0,1)上单调递减,故函数g (x 0 )的极值点为x 0 = 0, x 0 = 1
⎧g (0) > 0
所以关于x 0的方程* 有三个不同实根的充要条件是⎨g (1) < 0 解得- 3 < m < -2 所求的实数m 的取值范围是(-3,-2)
总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与 x 轴交点个数
.基础训练：
5. 设a 为实数,函数f (x ) = x 3 - x 2 - x + a
(1) 求f (x )的极值
(2) 当a 在什么范围内取值时,曲线y = f (x )与x 轴仅有一个交点
变式 2：若函数 f (x ) = ax 3 - x 2 + x - 5 在(-∞,+∞) 上单调递增，求 a 的取值范围。

1
变式 3：已知函数 f (x ) = 2ax -
, x ∈(0,1] ，若 f (x ) 在区间(0,1] 上是增函数，求 a 的取值范围。

x 2
变式 4：已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + x +1， a ∈ R ．
（Ⅰ）讨论函数 f (x ) 的单调区间；
（Ⅱ）设函数 f (x ) 在区间⎛ - 2
，- 1 ⎫ 内是减函数，求 a 的取值范围． 3 3 ⎪ ⎝ ⎭
0 0 0
变式1：已知f (x) =x3-1
x2- 2x + 5, x ∈[-1,2], f (x) <m 恒成立，求实数m 的取值范围2
★高考真题演练
(2017 年理 21)已知函数 f (x) =ae2x+ (a - 2)e x-x （1）讨论f (x) 的单调性；
（2）若f (x) 有两个零点，求a 的取值范围。

(2017 年文 21)已知函数 f (x) =e x(e x-a) -a2x （1）讨论f (x) 的单调性；
（2）若f (x) ≥ 0 ，求a 的取值范围。

（2017 年文科14）曲线y =x2+1
在点(1,2) 处的切线方程为。

x
（2016 年文、理 21） 已知函数 f (x) = (x - 2)e x+a(x -1)2（1）讨论f (x) 的单调性；
（2）若f (x) 有两个零点，求a 的取值范围.
x be
（2014 年文科 21）设函数 f (x)=a ln x + （1）求b; 1-a
2
x2-bx (a ≠1)，曲线 y = f (x)在点(1，f (1))处的切线斜率为0
（2）若存在x0≥1, 使得f (x0)<
a
a -1
，求a 的取值范围。

（2014 年理科 21）设函数 f (x0 =ae （Ⅱ）证明： f (x) > 1 .
x-1
ln x +
x
，曲线y =
f (x) 在点（1，f (1) 处的切线为y =e(x -1) + 2 . (Ⅰ)求a, b ；
（2013 年理科21）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y＝4x+2
（Ⅰ）求a，b，c，d 的值
（Ⅱ）若x≥－2 时，f(x)≤kgf(x)，求k 的取值范围。