高一（下）数学（必修五）第一章 解三角形正弦定理、余弦定理高考真题1、（06湖北卷）若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += A.153 B ．153- C ．53 D ．53- 解：由2A ＝20，可知A 这锐角，所以＋0，又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=，故选A2、（06安徽卷）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。

故选D 。

3、（06辽宁卷）ABC V 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+u r ,(,)q b a c a =--r,若//p q u r r ,则角C 的大小为(A)6π(B)3π (C)2π(D) 23π【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab⇒+-=-⇒+-=u r r，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B 。

【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。

4、（06辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） 33 1515 解：依题意，结合图形可得15tan 2A =，故221522tan15152tan 7151tan 1()2AA A ⨯===--，选D5、（06全国卷I ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14B ．34C ．24 D ．23解：ABC ∆中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则2，222cos 2a c b B ac +-==222242344a a a a +-=，选B. 6、06山东卷）在△中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、3π31，则(A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3解：由正弦定理得＝12，又a >b ，所以A >B ，故B ＝30︒，所以C ＝90︒，故c ＝2，选B7、（06四川卷）设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 解析：设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若()2a b b c =+，则2sin sin (sin sin )A B B C =+，则1cos 21cos 2sin sin 22a BB C --=+， ∴1(cos 2cos 2)sin sin 2B A BC -=，sin()sin()sin sin B A A B B C +-=， 又sin()sin A B C +=，∴ sin()sin A B B -=，∴ A B B -=，2A B =，若△中，2A B =，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到()2a b b c =+， 所以()2a b b c =+是2A B =的充要条件，选A.8、（06北京卷）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是. 解： sin :sin :sin 5:7:8A B C =⇔＝5:7:8设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ，由余弦定理可解得B ∠的大小为3π.9、（06湖北卷）在∆中，已知433=a ，b ＝4，A ＝30°，.解：由正弦定理易得结论＝。

10、（06江苏卷）在△中，已知＝12，A ＝60°，B ＝45°，则＝ 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识【正确解答】由正弦定理得，sin 45sin 60AC BC=o o解得AC = 【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理11、（06全国）已知△的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且＝1，＝4，则边上的中线的长为 ．解析: 由ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得2B 而π可得3B π∠=为边上的中线可知2,由余弦定理定理可得AD =本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。

12、（06上海春）在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .解：由三角形面积公式，得1sin 20sin 122BC CA C C ⋅⋅==，即3sin 5C =．于是27cos 212sin 25C C =-=从而应填725．13、（06湖南卷）如图3是直角△斜边上一点,记∠α,∠β. （1）证明 sin cos 20αβ+=; （2,求β的值.解：(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 2222πππαπββαββ=--=-∴=-=-Q ，即sin cos 20αβ+=．（2）．在ABC ∆中，由正弦定理得B DCαβA图3,.sin 3sin sin sin()sin sin DC AC DC DCβααπβαβ=⇒=∴=- 由(1)得sin cos 2αβ=-，2sin 3cos 23(12sin ),βββ∴=-=-- 即23323sin sin 30.sin sin 23ββββ--===-解得或． 30,sin ,.223ππβββ<<∴=⇒=Q14、（06江西卷）在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，， 已知22sin 3A =， （1）求22tan sin 22B C A++的值； （2）若2a =，2ABC S =△，求b 的值． 解：（1）因为锐角△中，A ＋B ＋C ＝，22sin 3A =，所以＝13，则 22222B C sin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 21cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－（2）ABC ABC 1122S 2S bcsin A bc 223•V V 因为＝，又＝＝，则＝3。

将a ＝2，＝13，c ＝3b代入余弦定理：222a b c 2bccos A ＝＋－中得42b 6b 90－＋＝ 解得b ＝315、（06江西卷）如图，已知△是边长为1的正三角形，M 、N 分别是边、上的点，线段经过△的中心G ，设∠＝α（233ππα≤≤） （1） 试将△、△的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数 （2）求y ＝221211S S ＋的最大值与最小值 解：（1）因为G 是边长为1的正三角形的中心，所以 ＝233323⨯＝，＝6π，由正弦定理GM GAsinsin 66πππα＝（－－）得3GM 6sin 6πα＝（＋）则S 1＝12＝sin 12sin 6απα（＋），同理可求得S 2＝sin 12sin 6απα（－）（2） y ＝221211S S ＋＝222144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋2），因为233ππα≤≤，所以当＝3π或＝23π时，y 取得最大值＝240 当＝2π时，y 取得最小值＝21616、（06全国卷I ）ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos2B CA ++ 取得最大值，并求出这个最大值。

.解: 由π, 得 = － , 所以有 . 2 2 =1－22 + 2 =－2( － )2+ 当 = , 即时, 2取得最大值为17、（06全国）在2545,10,cos ABC B AC C ∆∠=︒==中，求 αDACM N（1）?BC =(2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。

解：（1）由255cos sin 55C C ==得 2310sin sin(18045)(cos sin )A C C C =--=+=o o由正弦定理知10310sin 32sin 2AC BC A B =⋅=⋅= （2）105sin 2sin 22AC AB C B =⋅=⋅=，112BD AB ==由余弦定理知2222cos 1182132132CD BD BC BD BC B =+-⋅=+-⋅⋅⋅= 18、（06四川卷）已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量()()1,3,cos ,sin m n A A =-=u r r，且1m n ⋅=u r r（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan B 解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。

（Ⅰ）∵1m n ⋅=u r r∴()()1,3cos ,sin 1A A -⋅= 即3sin cos 1A A -=312sin cos 12A A ⎛⎫⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π=（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B BB B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--23123+=--85311+= 19、（06天津卷）如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，43cos =C ． （1）求AB 的值；（2）求()C A +2sin 的值.本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解 决问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解： 由余弦定理，2222..cos AB AC BC AC BC C =+-341221 2.4=+-⨯⨯⨯=那么， 2.AB =（Ⅱ）解：由3cos 4C =，且0,C π<<得27sin 1cos .4C C =-=由正弦定理，,sin sin AB BCC A=解得sin 14sin 8BC C A AB ==。