高中数学专题-基本不等式（第1课时）32**学习目标**1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.**要点精讲** 1．基本不等式：2a bab +³ (0,0a b >>)，即：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立．注：上述不等式对a ≥0,b ≥０时仍成立。
2．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．a ≥0,b ≥0 3．基本不等式的变形公式： （1）20,0a a ≥≥（a R ∈）； （2）2222(,)a b abab a b R +吵?；（3）22(,)2a b ab a b R +Ｎ； （4）2(,)a b ab a b R ++澄；（5）2()(,)2a b ab a b R ++Ｎ。
4．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若 a i ≥0(i=1,2,…,n), 则1212nn n a a a a a a n++鬃?鬃祝(n>1,n ÎN)；**范例分析**例1．（1）如图,已知在正方形ABCD 中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边的长为a 、b,则正方形ABCD 的面积为S 1=________,4个直角三角形面积的和为S 2=________,则S 1_______S 2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a 、b 的式子表示),并且当a______b 时,直角三角形变为________时,S 1=S 2. （2）已知0,0a b >>，求证：2a bab +³ ，你能解释2a b ab +≤（,a b R +∈）的几何意义吗？例2. 利用基本不等式证明下列不等式：(1) 已知a>0,求证 a+12a ³； (2) 已知a>3,求证 a+473a ³-；例3. (1). 已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (1111)(1)(1)8x y z--->(2). 已知0,0x y ≥≥，求证：()()21124x y x y +++≥。
例4．（1）已知,,a b c 为任意实数，求证：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca ； （2）已知a+b+c=1, 求证a 2+b 2+c 2≥13。
４．已知a , b , c 不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证:c b a cb a ++>++111 注意：利用基本不等式证明时要交代等号为何不能成立．规律总结1．均值不等式（不等式链）：若,a b R +∈，则21/1/2a b a b +≤≤≤+其中，21/1/2a b a b ++,a b 的调和平均数（H ）、几何平均数（G ）、算术平均数（A ）、平方平均数（P ），即有H G A P ≤≤≤。
基本功能有：（1）P A ≥，将平方和与两数和互化； （2）A G ≥，将和与积互化； （3）A H ≥，将和与倒数和互化；（4≤≤,a b 为正数。
2．学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．3．均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；用均值不等式证明时，为达到目标可先宏观，后微观；均值不等式和不等式的基本性质的联合运用是证明不等式行之有效的方法。
**基础训练** 一、选择题1．下面推导“222a b a b ab ++⎛⎫≥⇒≥ ⎪⎝⎭） .A 没有考虑等号成立的条件 .B 没有考虑,a b 的值应当非负的限制 .C 没有考虑0ab <而不能开方的情况 .D 没有考虑0ab >是可以开方的条件2．若a>1,b>1则a+b,2ab,2ab ,22b a +中最大的一个是（ ）A a+b,B 2ab,C 2ab ,D 22b a +3．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．4)11)((≥++ba b a B ．2332ab b a ≥+ C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-||4．如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一5．已知x,y ∈R ，M=x 2+y 2+1，N=x+y+xy ，则M 与N 的大小关系是（ ） A 、M ≥N B 、M ≤N C 、M=N D 、不能确定二、填空题6． 比较大小：lg9lg11 1；7．已知0>>a b ，且1=+b a ，将下列五个数221,2,,,2a b ab b a +按从大到小顺序排列 是 。
8．有一组数据：)(,,2121n n x x x x x x ΛΛ≤≤，它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的n x ，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的1x ，余下数据的算术平均值为11。
则1x 关于n 的表达式为___________；n x 关于n 的表达式为___________。
三、解答题9．证明：（1）若+∈R b a ,，则ba ab +≥b a +。
（2）已知,,a b c R +∈，求证：bc ca aba b c a b c ++≥++。
10．（1）已知,,a b c R +∈，求证：111111222a b c b c c a a b++≥+++++； （2）已知a , b , c ∈R +, 且a+b+c=1, 求证: 9111≥++cb a 。
.四、能力提高11．若a 、b 是正数，则2b a +、ab 、ba ab+2、222b a +这四个数的大小顺序是（ ）A.ab ≤2b a +≤b a ab +2≤222b a +B.222b a +≤ab ≤2b a +≤ba ab+2C.b a ab +2≤ab ≤2b a +≤222b a +D.ab ≤2b a +≤222b a +≤ba ab+212．已知,,a b c R +∈，1abc =111a b c≤++。
3．4．1基本不等式例1．解：（1）221S a b =+，22S ab =，由12S S ≥知，222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立；（2）见要点精讲。
例2.（1）因为0a >，所以12a a +≥=，当且仅当1a =时等号成立；（2）因为3a >，所以()44333733a a a a +=-++≥=--； 当且仅当433a a -=-，即5a =时等号成立；例3.（1）因为,,x y z 是互不相等的正数，且x+y+z=1，所以11y z x x +-=>……①11z x y y +-=>11x y z z +-=>……③ 三式相乘得1111)(1)(1)8x y z--->。
（2）证明：因为0,0x y ≥≥，所以2x y+≥ ()()2111124244x y x y x y x y +⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥=。
例4．证明：（1）因为()()()222222102a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-≥⎣⎦，得证。
或222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，三式相加得证。
（2）方法1：()()222222212223a b c a b c ab bc ca a b c=++=+++++≤++，所以a 2+b 2+c 2≥13，当且仅当13a b c ===时等号成立； 方法2：因为()()()()222222a ba b a b a b +=++-≥+，所以()()222222221131*********a b c a b c c c c ⎛⎫++≥++=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立； **参考答案** 1~5 BDBAA ；5．提示：()()()22211102M N x y x y ⎡⎤-=-+-+-≥⎣⎦； 6．<； 7．a ab b a b >>>+>22122；8．()121,9n x n x n =-=+。
9．证明：（1≥≥ （2）证明：2bc ca c a b +≥，2ca ab a b c +≥，2bc ab b a c+≥，相加得证。
10．（1）因为()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭，所以114a b a b +≥+， 同理，114b c b c +≥+，114a c a c+≥+，相加得证。
（2）提示：()11139b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++++≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
11．C ；提示：方法1，特殊赋值，令a =1，b =2，则2b a +=23，ab =2，b a ab +2=34， 222b a +=241+=25=5.2. 选C 。
方法2，严格证明，由恒等式()()()22222a b a b a b++-=+得2ba +≤222b a +；由20≥，得ab ≤2b a +ba ab+2≤ab 。
选C 。
12．证明1：因为,,a b c R +∈，1abc =，所以11a b +≥=11b c+≥11c a+≥证明2：11bc ca a b+=+≥=，下同证法1。