解析：由a∥b，b⊂α，可得出a⊂α，或a∥α，①不
正确．a⊄α有两种情况，即a∥α和a与α相交，②不正
确．垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平行或异
面，③不正确．④正确．
答案：B
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专题2 平行和垂直的判定证明 线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质是本 章的重点．线线、线面、面面垂直的判定与性质之间并 非孤立的，可以相互转化，可以利用这些判定和性质解 决相关平行与垂直的证明等线、面问题．在高考中，常 以解答题形式出现，其中线面平行和垂直是重中之重． [例2] (2018·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD， PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
(2)因为G，H不是BC，CD的中点， 所以EF∥GH，且EF≠GH. 所以EG与FH必相交，设交点为M. 而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD， 所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD. 因为平面ABC∩平面ACD＝AC， 所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC上． 归纳升华 证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三 个公理，做到合理、恰当地转化．
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[变式训练] 下列命题正确的有( )
①若一直线a与平面α内一直线b平行，则a∥α；②
若直线a在平面α外，则a∥α；③垂直于同一条直线的两
条直线平行；④垂直于同一条直线的两个平面平行．
A．0个
B．1个 C．2个
D．3个
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求证：(1)PE⊥BC；
(2)平面PAB⊥平面PCD；
(3)EF∥平面PCD.
证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥ AD.
因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD. 所以PE⊥BC.
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专题1 点、线、面的位置关系 (1)证明共面问题． 证明共面问题，一般有两种证法：一是先由某些元素 确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分 别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合． (2)证明三点共线问题． 证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面 的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再 证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的 交线上．
(1)E，F，G，H四点共面； (2)EG与HF的交点在直线AC上． 证明：(1)因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD. 又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD. 所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面．
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4．透彻理解直线与平面的关系 直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直 线在平面内与直线在平面外(包括直线与平面平行和相 交)；另一种分法是直线与平面平行(无公共点)和直线与 平面不平行(直线在平面内和直线与平面相交)． 5．使用判定定理时不要忽略条件 应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的 应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点.
(3)证明三线共点问题． 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点， 再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直 线上的问题．
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[例1] 如图所示，在空间四边形ABCD 中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别 在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶ 2，求证：
断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室) 做出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致．
3．不要忽略异面直线所成的角的范围 求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围 是(0°，90°]． 两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时， 容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的 角，也可能等于其补角．
2．垂直关系的转化．
面面垂直的性质是线线垂直的判定 在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的 垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解 决．当有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面 内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，再进一步转化 为线线垂直．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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[警示·易错提醒] 1．不要随意推广平面几何中的结论 平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定 成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线 垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在 空间中就不成立． 2．弄清楚空间点、线、面的位置关系 解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反 例做出否定的判断或逐个进行逻辑证明做出肯定的判
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(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面 PAD， 所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，且AB∩PA＝A， 所以PD⊥平面PAB. 由PD⊂平面PCD，得平面PAB⊥平面PCD. (3)取PC中点G，连接FG，DG. 因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝12BC.
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因为ABCD为矩形，且E为AD的中点， 所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG. 所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG. 又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD， 所以EF∥平面PCD.
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归纳升华 1．平行关系的转化．
面面平行的性质是线线平行的判定 判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过 程．在解题时把握这一点，灵活确定转化的思想和方向．
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