约束
常用单元的形状
. . 线(弹簧，梁，杆)
面 (薄壳, 二维实体,
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轴对称实体)
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.. ..
线性
二次
线性
二次
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................体(三维实体)
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线性
二次
线性
二次
• 节点和单元
块单元
四面体单元
• 一般问题的求解过程
结构离散化
1963-1964年 Besseling、Melosh等人证明了有限元法是基于变分原理的 Ritz法的另一种形式，从而确认有限元法是处理连续介质问题的一种普遍 方法，并为有限元法找到了理论基础。
60年代后期开始进一步利用加权余量法来确定单元特性和建立有限元方程。
70年代以来，随着计算机技术的发展，有限元法的理论和应用研究也随之空 前活跃起来。
模型的建立
设定材料属性
E、G、μ等等
添加边界条件
约束、载荷
划分网格
运行求解
后处理
结果的提取 应力、应变、位移等等
• 边界条件的添加
边界条件——当研究一个物体，与该物体相连接的其他物体被拿掉时，用一个约束或者 载荷来替代被拿掉的物体。这个约束或者载荷就是边界条件。
固定铰链
添加边界条件
位移边界条件 力边界条件
方程：(1)物理本构方程 (2)几何变形方程 (3)力的平衡方程
三大变量→三大方程
变形体
弹性力学
对象：任意变形体 特征：变形(小)
任意形状的体
变量：(1)材料物性描述 (2)变形方面描述 (3)力的平衡描述
方程：(针对微体dxdydz) (1)物理本构方程 (2)几何变形方程 (3)力的平衡方程
三大变量→三大方程
非变形体 (刚体)
材料力学
对象：简单变形体 特征：变形(小)
简单形状的体
变量：(1)材料物性描述 (2)变形方面描述 (3)力的平衡描述
方程：(1)物理本构方程 (2)几何变形方程 (3)力的平衡方程
三大变量→三大方程
结构力学
对象：数量众多的简单变形体 特征：变形(小)
简单形状的体(数量众多)
变量：(1)材料物性描述 (2)变形方面描述 (3)力的平衡描述
P/A As A 0,
一般应力奇异发生情形：
• 集中载荷作用位置处 • 锐利(零半径倒角)拐角处。
不常见的应力奇异情形：
• 由于在划分单元网格时出错，模型中存在 的“裂缝”；
• 曲边单元中处在极不理想位置的中间点； • 严重扭曲的单元。
在应力奇异处:
• 单元网格越是细化，越引起计算应力 无限增加，并且不再收敛。
弹性常数
物体变形后的形状 物体的变形程度 物体的受力状态
物体的材料特征
• 基本方程
力的平衡方程： 几何变形方程： 材料的物理方程(本构关系)：
力→应力 位移→应变 应力→应变
力平衡方程
几何变形方程
本构关系
• 有限元法的思路
连续体
离散体
一分一合
连续体
对象的离散化过程
自然离散 (如：桁架) 逼近离散 (连续体)
引入约 束条件
节点载 荷移置
• 有限元法的工程应用
(1) 平衡问题或不依赖于时间的问题 (2) 固体力学和流体力学的特征值问题 (3) 连续介质领域的许多随时间变化的问题和或传播问题
热分析
疲劳分析
静力动力分析 模态分析
流体动力分析
• 有限元分析实例
动力分析
疲劳分析
热分析
模态分析
流体分析
• 利用有限元软件求解的一般过程：
单元分析
集成组合
整体分析
求解计算
为了进行单元分析
为了对整体结构综合分析
• 单元分析
单元分析是为了利用节点位移求解出节点力
单元刚度矩阵
几何
本构
插值 单元内部 方程
关系
等效
节点位移
各点位移
单元应变
单元应力
节点力
单元分析
• 整体特征分析
整体分析是将各个单元再拼凑起来以代替原来的连续体
整体刚度矩阵
建立整体 刚度矩阵
1943年 Courant从应用数学角度，尝试用定义在三角形区域上的分片连续 函数和最小位能原理相结合求解 St. Venant扭转问题。
1956年 Turner、Clough等将刚架位移法推广到弹性力学平面问题，用三 角形单元求得平面应力问题的正确解答。
1960年 Clough进一步处理了弹性力学问题，并第一次提出了“有限单元 法” （Finite Element Method）的名称，使人们开始认识到了有限单元法 的功效。
有限元法—— FEM (Finite Element Method 有限单元法)
一种将连续体离散化为若干个有限大小的单元体的集合，以求解连续体力学 问题的数值方法。
有限元分析—— FEA (Finite Element Analysis)
使用有限元法，以计算机为工具，对实际物理问题进行模拟求解。
有限元法的发展概况
• 离散化过程
自然离散
逼近离散
实体模型
有限元模型
• 有限元分析过程
分解过程
组装与求解过程
• 节点和单元
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连 接，并承受一定载荷。
节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。
单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。
弹塑性力学
对象：任意变形体 特征：变形(屈服，非线性)
任意形状的体
变量：(1)材料物性描述 (2)变形方面描述 (3)力的平衡描述
方程： (针对微体dxdydz) (1)物理本构方程(屈服，非线性) (2)几何变形方程 (3)力的平衡方程
三大变量→三大方程
变形体
• 基本变量的定义：
主位移 应变 应力
• 有限元法的理论基础：基础ຫໍສະໝຸດ 学对象：质点 特征：无变形
无形状的点
变量：(1)质心描述 (2)运动状态描述 (3)力的平衡描述
理论力学
对象：质点系及刚体 特征：无变形
复杂形状的体
变量：(1) 刚体描述 (2) 运动状态描述 (3) 力的平衡描述
方程：质点的牛顿三大定律
方程：质点和刚体的 牛顿三大定律
固定铰链 载荷(油缸压力)
• 网格的划分
• 网格的划分
粗网格
细网格
• 后处理
延性：Mises 脆性：应力强 度
截面剪裁
ISO剪裁
• ISO剪裁
≥25MPa
≥40MPa
≥60MPa
≥80MPa
• 后处理
探测
• 后处理
探测结果
• 应力奇异 (应力集中)
有限元模型中由于几何构造或载荷引起弹性理论计算应力值无限大。 即使是奇异点，材料的非线性特性不可能允许应力值出现无限增大情况，在理论上总体 应变也是有限的。