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2．产品性能与结构优化仿真分析，缩短新产品开 发周期与研制费用
采用有限单元法进行产品性 能、结构优化仿真研究并与 物理仿真相结合的方法则可 有效减少性能测试样品的数 量以及方案寻优的次数，从 而有效缩短新产品开发周期 与研制费用。如汽车的碰撞 性能模拟等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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工程问题的理论性研究，为产品的设计与产品使 用提供理论依据
直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极 值问题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的 一种计算方法。 (3) 加权余量法
直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种 近似解法。
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有限元法在现代设计过程中的作用 1．应力和变形的计算，有利于提高产品的安全可靠性
一方面消除了设计过程 中的一个不确定环节， 另一方面，在准确把握 载荷与应力应变关系的 基础上，又可以适当地 采用小的安全系数来进 行设计，从而有效降低 成本。
其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，工 程应用最广。目前它已成为机械产品动、静、热特性 分析的重要手段，它的程序包是机械产品计算机辅助 设计方法库中不可缺少的内容之一。
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解析法
场问题
数值法
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有限差分法 有限元法 边界元法
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第一章 概述
1.1 有限单元法的概念 1.2 有限单元法特点及分类 1.3 在现代设计过程中的作用
有限单元法
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有限元法
内容简介 有限元法是结构分析的一种数值计算方法。它在20世 纪50年代初期随着计算机的发展应运而生。
这一方法的理论基础牢靠，物理概念清晰，解题效率 高，适应性强，目前已成为机械产品动、静、热特性分析 的重要手段，它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法 库中不可缺少的内容之一。
1.4 发展历史及前沿技术
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第一章 概述
1.1 有限单元法的概念
基本思想:借助于数学和力学知识，利 用计算机技术而解决工程技术问题。
Finite Element Method -_FEM Finite Element Analysis
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△x1
△x2
△x3
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边界条件： △x1=0
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3.适合计算机实现的高效性
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有限元法分类
按所取未知量的不同：
• 位移法——以节点位移作为基本未知量； • 力法——以节点力作为基本未知量； • 混合法——以一部分节点位移，一部分节 点的力作为基本未知量。
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三大类型(按其推导方法分): (1) 直接刚度法(简称直接法):
根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的 单元性质方程。 (2) 变分法
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在国内，我国数学家冯康独立于西方提出了有限 元法。1965年，他发表论文《基于变分原理的差 分格式》，标志着有限元法在我国的诞生。冯康 的这篇文章不但提出了有限元法，而且初步发展 了有限元法。他得出了有限元法在特定条件下的 表达式，独创了“冯氏大定理”并且初步证明了 有限元法解的收敛性。虽然冯康创造的有限元法 不成熟，但他能在当时的条件下独立提出有限元 法已十分不易。对于他的这项成就，国内外专家 学者和国家领导人都有很高的评价。
来的结构进行整体分析。
“一分一合”
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从数学的角度来看，有限元方法是将一个偏
微分方程化成一个代数方程组，然后利用计
算机进行求解的方法。由于有限元法采用了
矩阵算法，因此借助计算机便可以快速地算
出结果。
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有限单元法的特点及分类 优点： 1.对复杂几何形状的适应性
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2.对各种问题的可适用性
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有限单元法的发展历史 有限元法的发展历程可以分为： •提出(1943) •发展(1944一1960) •完善(1961-二十世纪九十年代)三个阶段。
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1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域 内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。 这实际上就是有限元的做法。 1946年计算机诞生，开始用来进行数值计算杆系 结构力学。
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核心思想之一
将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体， 列出方程组并求解
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常见的系统
几何实体 统
载荷
结构
热
电磁
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物理系
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有限元方法的基本思想是先化整为零,再积零为整，
也就是把一个连续体人为分割成有限个单元；即把一
个结构看成由若干通过结点相连的单元组成的整体，
先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原
成为到目前为止工程问题理论研究最强大的工具之 一，也是现代设计过程及产品使用获得理论依据的 最重要的手段之一
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有限单元法的发展历史与前沿技术
有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法， 离散化是有限元方法的基础。然而，这种思想自古有 之。齐诺曾说道：“空间是有限的和无限可分的。故， 事物要存在必有大小。”亚里士多德也讲过：“连续 体由可分的元素组成。”古代人在计算圆的周长或面 积时就采用了离散化的逼近方法
● 用解析法求得精确解； ● 用数值解法求其近似解。
其中， 能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较 简单且几何边界相当规则的少数问题。
而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需
要研究它的数值解法，以求出近似解。
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目前，工程中实用的数值解法主要有三种：
• 有限差分法 • 有限元法 • 边界元法
本章介绍了如下内容: ■ 有限元法的基本思想及应用 ■ 平面问题有限元分析原理及步骤 ■ 有限元法的设计应用及计算实例
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内容结构
第一节 概述 第二节 有限单元法的分析步骤 第三节 工程应用
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概述
在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微 分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如 位移场、应力场和温度场等问题。目前求解这类场问题的 方法主要有两种：
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有限元法早期(1944一1960)发展阶段中，得出 了有限元法的原始代数表达形式，开始了对 单元划分、单元类型选择的研究，并且在解 的收敛性研究上取得了很大突破。1960年， 克劳夫第一次提出了“有限元法”这个名称， 标志着有限元法早期发展阶段的结束。
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有限元法完善阶段(1961一二十世纪九十年代)的发 展有国外和国内两条线索。在国外的发展表现为: 第一，建立了严格的数学和工程学基础; 第二，应用范围扩展到了结构力学以外的领域; 第三，收敛性得到了进一步研究，形成了系统的误 差估计理论; 第四，发展起了相应的商业软件包。