课题：二次函数图像中直角三角形的存在性问题
一、教学目标
1、掌握求二次函数表达式的方法。

2、掌握判断直角三角形可以从边和角两个角度入手。

3、掌握二次函数与直角三角形结合的动点问题的解决方法。

二、重、难点
重点：线段的表示与分类讨论
难点：分类讨论
三、教学过程
情境创设：
存在性问题是中考中的热点问题，所涉知识点多，难度较大，也是学生比较荆手的问题，但它也是有解题方法可循的。

比如我们本节课将复习的直角三角形存在性问题，就可利用坐标系中两点的距离公式，正确得到所求三角形三边长的平方的代数式；根据勾股定理的逆定理得到方程，并解方程即可。

知识梳理：
1、二次函数的表达式有哪些？
一般式：对轴称为顶点坐标（，）项点式：对轴称为顶点坐标（，）交点（两根）式：对轴称为顶点坐标（，）（设计意图：让学生能根据所给条件选用恰当的表达式求二次函数解析式）
2、直角三角形的判定方法有哪些？
（设计意图：让学生知道判断一个三角形是直角三角形可从边和角两个角度入手，重点是对勾股定理逆定理的运用）
3、已知点P(x,y)，则点P到x轴的距离为，到y轴的距离为。

（设计意图：让学生知道点的坐标的实际意义）
4、两点间的距离公式：用A，B两点的坐标来表示线段AB的长。

（设计意图：让学生知道用两点坐标来表
示该两点的线段长）
习题展示：
o
y B( x2,y2)
A( x1,y1)
x
如图，已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于点A 、B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），直线l 经过点B 、C 两点，抛物线的顶点为D 。

（1）求此抛物线和直线l 的解析式；
（2）判断ΔBCD 的形状并说明理由；
（3）如图，在抛物线的对称轴上求点P ，使ΔPBC 为直角三角形；
思考题：
如图，在对称轴右侧的抛物线上，是否存在点P ，使ΔPDC 为等腰三角形。

若存在，请求出符合条件点P 的坐标，若不存在，请说明理由；
C B A O y x
D C
B
D
A y
L
O C B A O y x
D 思路分析：将B （3，0），C （0，3）代入
y=-x 2+bx+c 中，得关于b ，c 的二元一次方程组，
解出b ，c 的值，从而得到抛物线的解析式；设
y=kx+z,将B （3，0），C （0，3）代入y=kx+z ，
得关于k ，z 的二元一次方程组，解出k ，z 的值，
从而得到直线l 的解析式。

思路分析：判断三角形形状可考虑从边和角两个角度入手，但结合本题从边上着手较简单，分别求出三角形的三边长，如果有两边相等，则
三等形是等腰三角形；如果三边相等，则三角形
是等边三角形；如果没有相等的边，则考虑使用
勾股定理验证三角形是否为直角三角形。

思路分析：由B （3，0），C （0，3）的坐标，求出 BC 的长度；点p 在抛物线的对称轴上，设P （1，t ），根据两点间的距离公式，用t 表示PC ，PB 的长，若ΔPBC 为直角三角形，分情况讨论边的关系：①PC 为斜边②PB 为斜边③BC 为斜边，根据勾股定理的逆定理列出方程求t ，从而得p 的坐标。

思路分析：（一）由C 、D 两点的坐标可求出CD 的长，设点P 的横坐标为x ，用x 表示出PD 、PC ，因题目中未说明ΔPDC 哪个角是顶角，故分： ①当∠D 是顶角，根据抛物线的对称性，P 的纵坐标应该等于C 的纵坐标，即可求出P 点的坐标。

②当∠DCP 是顶角，因为点D 在抛物线的对称轴上，所以抛物线上对称轴右侧的点到点C 的距离一定大于CD ，因此这种情况在对称轴的右侧不存在满足条件的P 点。

③∠P 是顶角，根据PC=PD 列出方程求解即可，结果要舍去P 在对称轴左侧的情况。

（二）设点P 的坐标为（x ，y ），由D （1，4），C
（0，3）的坐标，求出 DC 的长度；根据两点间的距离
公式，用x ，y 表示出PC ，PD 的长，根据勾股定理的逆
定理列出方程，从而得p 的坐标。

课堂小结：
1、对自己说，本节课你学到了什么？
2、对同学说，你有哪些温馨的提示？
3、对老师说，本节课你还有哪些困惑？
作业：
如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．设抛物线的顶点为D，连结CD、DB、AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）设Q是抛物线上一点，连结BC、QB、QC，把△QBC沿直线BC翻折得到△Q′BC，若四边形QBQ′C为菱形，求此时点Q的坐标.。