369第八章弹性体的应力和应变8.1.1 一钢杆的横截面积为425.010m -⨯，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B ，B 、C 和C 、D 之间的应力.41F 610N =⨯， 42F 810N =⨯，43F 510N =⨯ ，44F 310N =⨯。

[解 答]建立坐标系O-x ，水平向右为正方向，作垂直于Ox 的假想截面123s ,s ,s 于AB 间E 处，BC 间G 处，CD 间H 处. 42123s s s 5.010m -===⨯以杆的全部为隔离体。

受力1234F ,F ,F ,F 杆所受合力1234F=F F F F +++∑X 轴上投影：1234F F F F 0-+-+= 合力为零，杆平衡。

在以杆的AE 部为隔离体，受力1F ，1s 面外侧对它的应力1σ 根据平衡方程8111F ˆ1.210n s σ=-=⨯ 由于1σ与X 轴同向，8211.210(N /m )σ∴=⨯为拉应力。

在以杆的AG 部为隔离体，经过同样分析可得：8220.410(N /m )σ∴=-⨯为压应力最后以杆的AH 部为隔离体，经过同样分析可得：8230.610(N /m )σ∴=⨯为拉应力。

8.1.2利用直径为0.02m 的钢杆CD 固定刚性杆AB.若CD 杆内的应力不得超过7max 1610Pa σ=⨯.问B 处至多能悬挂多大重量（不计杆自重）.[解 答]以杆AB 为隔离体。

受力F,T ，建立坐标系A xy,z -轴如图。

根据刚体平衡时M 0i =∑，在z轴方向投影方程为：1.6F 1.0T 0-=得到F=0.39T对CD ，因72max 1.610(N /m ),σ=⨯故2max max T r σπ=y1.0m0.6m370所以4max max F 0.39T 1.9610(N)==⨯8.1.3图中上半段为横截面等于-424.010m ⨯且杨氏模量为106.910Pa ⨯的铝制杆，下半段是横截面为421.010m -⨯且杨氏模量为1019.610Pa ⨯的钢杆，又知铝杆内允许最大应力为77.810Pa ⨯，钢杆内允许的最大应力为713.710Pa ⨯.不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量.[解 答]对于铅杆允许最大内力为4max1max11F s 3.1210(N)σ==⨯对于钢杆允许最大内力为4max 2max 22F s 1.3710(N)σ==⨯所以杆的最大承受能力是：41.3710(N)⨯根据胡克定律。

在力4F 1.3710(N)=⨯的作用下铅杆伸长量为111111111F FY s s Y ==故同理钢杆的伸长量为2222F s Y =所以总的伸长量312121122F F 2.8910(m)s Y s Y -=+=+=⨯ 8.1.4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂.电梯质量为500kg.最大负载极限5.5kN.每根钢索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5,求钢索的直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为86.010Pa ⨯.[解 答]以电梯和最大负载为物体系，受力1212W W (m m )g +=+ 由牛顿第二定律：121212g F (m m )g=(m m )56g F (m m )5-++=+371对某根钢索，根据题意82max 2maxmax6.010(N /m )dF ()2σπσ=⨯=max 2max 30.7F F F d()0.72d 6.1510(m)πσ-=∴===⨯8.1.5 (1)矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为ε.此材料的泊松系数为μ.求证杆体积的相对改变为V V (12).V εμ-=- 0V 表示原来体积，V 表示变形后的体积.（2）上式是否适用于压缩？（3）低碳钢杨氏模量为10Y 19.610Pa =⨯，泊松系数0.3μ=，受到的拉应力为1.37Pa σ=，求杆体积的相对改变.[解 答] （1）设杆长为0，横截面积的二边长为00a ,b 。

1εμε=，（1ε为横向应变，ε为长应变） 拉伸时ε〉0，1ε〈 0 故1εμε=-0010100000000v v (1)(1)a (1)b a b v a b εεε-+++-= 21222(1)(1)1(1)(12)1(2(12)εεεμεμεεεμεεμ=++-=++--=-=-展开略去项)（2）压缩时110,0,εεεμε<>=-仍有 所以上式对压缩时亦适用 （3）根据胡克定律Y σε= 所以Yσε=372故120V V (12) 2.810V Yσμ--=-=⨯ 8.1.6 （1）杆受轴向拉力F ，其横截面为S ，材料的重度（单位体积物质的重量）为γ，试证明考虑材料的重量时，横截面内的应力为F()Sx x σγ=+ （2）杆内应力如上式，实证明杆的总伸长量等于2F SY 2Yγ=+ [解 答]（1）建立坐标系o —x 如图，在x 处作垂直于ox 轴假想截面s,以x 0x=x =到的一段杆为隔离体，ˆF,W=-rsxi,受拉力重力s 面外侧内力 ()()ˆˆP snsi x x σσ== 由平衡方程 F W P 0++= ()F r s s 0x x σ--+=则 F()r sx x σ=+ （2）根据胡克定律:nF (x)Y,Y sσε==则(x)Yxσ=→d (x)dx Yσ=所以2(x)F r d dx Y sY 2Yσ==+⎰⎰（为杆长） 8.2.1 在剪切材料时，由于刀口不快，该钢板发生了切变。

钢板的横截面积为2S 90cm =。

二刀口间的垂直距离为d 0.5cm =。

当剪切力为5F 710N =⨯时，求 （1）钢板中的切应力，（2）钢板的切应变，（3）与刀口相齐的两个截面所发生的相对滑移。

已知钢的剪切模量10N 810Pa =⨯。

[解 答]（1） 2S 90cm =， 剪切力5F 710N =⨯。

根据切应力定义：373钢板中的切应力为 72F7.7810(N /m )sτ==⨯ （2）根据剪的胡克定律N τψ=钢板的切应变49.710(rad)Nτψ-==⨯（3）根据剪切应变的定义dψ=，则6d 4.910(m)ψ-==⨯8.3.1 一铝管直径为4cm ，壁厚1mm ，长10m ，一端固定，而另一端作用一力矩50N m ⋅，求铝管的扭转角θ。

对同样尺寸的钢管在计算一遍。

已知铝的剪切模量10N 2.6510Pa =⨯，钢的剪切模量为10N 8.010Pa =⨯[解 答]设管直径为D ，壁厚为d ，管长为，外力矩为M 。

根据切应力的定义，注意到D d 有： 切应力 2M 12MD /2Dd D dτππ=⋅= 根据剪切的胡克定律22MN N D d τψπ==则扭转角 344MD /2D dNθπ== （1）对于铝管取10N 2.6510=⨯得：34M0.376(rad)D dNθπ==（2）对于钢管取10N 810=⨯得：34M0.124(rad)D dNθπ== 8.3.2 矩形横截面长宽比为2:3的梁，在力偶矩作用下发生纯弯曲。

各以横截面的长和宽作为梁的高度，求同样力偶矩作用下曲率半径之比。

[解 答]设梁横截面长为0a 2d,=宽0b 3d =。

根据公式3112M k=R Ybh= 有 31Y 3d (2d )R 12M=32Y2d(3d)R 12M=，374所以12R 4R 9= 8.3.3 某梁发生纯弯曲，两长度为L ，宽度为b ，厚度为h ，弯曲后曲率半径为R ，材料杨氏模量为N ，求其总形变势能。

[解 答]建立坐标系O —z ，竖直向下为z 轴正方向，原点O 位于中性层内。

因压缩拉伸弹性势能密度02P 1E Y 2ε=。

所以对于z d 一层：(R z)R z θθθ=+-=，原长L=R θ则z z L R R θεθ===故 2P 1z dE Y()Lbdz 2R=因此总形变势能为：3h/2h/22P P 2-h/2-h/21z YLbh E =dE Y()Lbdz 2R 24R==⎰⎰ 基本训练填空1， 若杆长为0ι，绝对伸长为ι∆，且各部分长变均匀，则长应变的表达式为（ιι∆=ε ），若杆结构均匀，所受张力均匀分布在横截面上，则正应力的表达式为（SN S F ==σ ），在比例限度内，正应力与长应变的关系为（εY =σ ），长变的弹性势能为（ V 21E 2p εY = ），势能密度为（ U=221εY ）。

2， 通过弹性体内某一个面元的切向内力与该面元的面积之比称为（ 切应力 ），当内力在上下底面上分布均匀时，则切应力可以表示为（ S /F SN==τ ），在一定的限度内，切应力与切应变的关系为（α=τG ），式中α为（ 切375应变 ）。

切变的势能为（V G 21E 2p α=），切变的势能密度为（U=2G 21α ）。

3， 扭转角与母线的倾斜角之间的关系为（ια=θa ）；扭转角与与扭转力矩的关系式为（L Ga 24πι=θ ），最大切应力表达式为（3maxaL 2π=τ ）。

4， 梁的弯曲程度，常用中点下降的距离y 表示，y 被称为（挠度 ），若梁的横截面积为矩形，宽度为b 高度为h ，二支承点之间的距离为ι，则挠度可表示为（33bh4Q y Y ι= ）。

5， 在长变中的胡克定律可表述为（ 在比例限度内，正应力和长应变成正比 ），其表达式为（ εY =σ ），式中σ表示的是（ 正应力 ），式中ε表示的是（ 长应变 ），式中Y 表示的是（ 杨氏模量 ）。

6， 切变的胡克定律可表述为（ 切应力与切应变成正比 ），其表达式为（α=τG ），式中τ表示的是（ 切应力 ），式中G 表示的是（ 切变模量 ），式中α表示的是（ 切应变 ）。