或：
1. 具有多个出入口的控制体
( m iV i) o ut( m iV i) in F
注意:
(1) 控制体的选取
(2) V或2 V代ou表t 流出平均速度矢量 V 或1 V代in 表流入平均速度矢量
(3) 动量方程中的负号是方程本身具有的,
V ou和t V在in 坐标轴上投影式的正负与坐 标系选择有关
(4) 包F 含所有外力(大气压强见例B4.4.1).
适用范围： （1）理想流体、实际流体的不可压缩恒 定流。 （2）选择的两个过水断面应是渐变流过 水断面，而过程可以不是渐变 流。 （3）质量力只有重力 （4）沿程流量不发生变化；
动量矩积分方程
根据动量矩定理：流体系统对某点的动量矩 H 对时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力 F
定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿流 线AO段列伯努利方程
v22gA zpv202gz0p0
端点O,v0 = 0,称为驻点(或滞止点),p0称为驻点压强.由于zA = z0, 可得
p0
p
1 2
pv2
毕托测速管
1 2
v称2 为动压强,p0称为总压强
1 2
v2
p0
p
AB的位置差可忽略 1v2 p vB2 pB
Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5
沿总流的伯努利方程 沿流线的伯努利方程在沿总流的缓变流截面上按质量流量积分，
V 2
2
gz
p
常数
(沿流束)
上式中V为总流截面上的平均速度，为动能修正因子（通常取 ）1
限制条件：(1) 无粘性流体 (2) 不可压缩流 体(3) 定常流(4) 截面上为缓变流。
对同一点的力矩，即 dd H t d d tVrvdV rF d d tV r v d V V r fd V Sr p n d S
根据雷诺输运方程式（2.3.5）可得控制体的动量矩积分方程
V r tv d V S r v v n d S V r f d V S r p n d S
m 2m 1m
可得一维定常流动动量方程
m (V 2V 1) F
不可压缩流体恒定总流动量方程 或
计算时β可取为1.0。
式中：
——作用于控制体内流体的所有外力矢 量和。该外力包括： （1）作用在该控制体内所有流体质点 的质量力； （2）作用在该控制体面上的所有表面 力（动水压力、切力）； （3）四周边界对水流的总作用力。
(2)基准面选取任意,统一
(3)压强项可取绝对,相对,统 一
(4)计算断面测压管水头时, 可选断面任一点
(5)动能修正系数,一般可取 为1
毕托测速管 已知: 设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为ρ,U 形管中 液 体密度ρm . 求： 用液位差Δh表示流速v 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体
动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、V 2， 流体密度为ρ.设 由一维平均流动伯努利方程
V 2 12 g1zp 1 V 222 g2zp 2
移项可得
V22 2V 12(g1zp 1)(g2zp 2)
A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
g z1
p1
gz3
2 2
因vB=v,由上式 pB = p.在U形管内列静力学关系式
(m)ghk1 2v2
由(c) , (d)式可得 p0p(ρmρ)gΔh
k 称为毕托管系数。由(e)式可得
v k(m 1) 2gh
文丘利流量计：一维平均流动伯努利方程 已知:文丘利管如图所示 求： 管内流量Q 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体定常流
伯努利方程的水力学意义 1. 沿流线的水头形式
v2 z p H 常数 (沿流线)
2g ρg
v2
速度水头
2g
z
位置水头
p
压强水头 测压管水头Fra bibliotekH总水头
应用条件:
注意点:
(1)恒定(定常) (2)不可压流体 (3)重力场 (4)无其它能量的输入 或输出
(5)总流量沿程不变
(1)所选过流断面为均匀流或 渐变流
2.6.3 动量积分方程和动量矩积分方程的应用
1. 水流对弯管的作用力
(a)
(b)
(c)
动量方程为
F ( p 1 p a ) n 1 A 1 ( p 2 p a ) n 2 A 2 Q ( v 2 v 1 )
上式中
((A1m//A2g)2)
12 1
μ称为流速系数，流量公式为
QA1 2gh
QV2A2d 42 2
(' 1)2gh
1(d2/d1)4
讨论：当ρ、ρm确定后,Q与Δh的关系仅取决于文丘利管的面积比A1/A2，
且与管子的倾斜角θ无关.A1、A2截面之间存在收缩段急变流并不影 响应用伯努利方程。
例 一潜艇在海中以16km/H的速度航行,
ddK t ddtVvdVF
由于外力有质量力和表面力之分，故上式右边的等式可写为
d d tVvdVVfdVSpndS
根据式（2.3.7）可得控制体的动量积分方程
V tvd V Sv v n d SVfd V Sp n d S
对固定控制体的流体动量方程为
CV vdCSv(vn)dA
潜艇的对称轴于海平面平行, 并位于水下 18m处, 海水的密度为1030kg/m3, 潜艇的宽 度为7米, 试求S点处的压力, 若B点的压力
为103.29KN/m2, 求B点处流体的速度
动量方程和动量矩方程及其应用
• 动量定理 • 动量矩定理 • 求解步骤 • 应用举例
动量积分方程
根据动量定理：流体系统的动量对时间的变化率等于外 界作用在该系统上的合力，即
F
v为绝对速度。定常流动时
CSv(vn)dA F
上式表明:作用在固定控制体上的合外力＝ 从控制面上净流出的动量流量
沿流管的定常流动
CS = 流管侧面 + A1 + A2
v(vn)dA
CS
( )v(vn)dA
A2
A1
( )vdm
A2
A1
2 V 2 m 21 V 1 m 1
通常取β1=β2=1 。由一维定常流动连续性方程
p3
g
z2
p2
g
z4
p4
(3),(5)位于等压面上,p3= p5，由压强公式
p 4 p 5m g h p 3m g h
z4z5 hz3 h
将上两式代入可得
g2z p 2g (z3 h )p 3m g h
整理后可得 由连续性方程
V22 V12 2
(m
1)gh
V2
A1 A2
V1
整理后可得大管的平均速度为 V1 2gh