WORD 格式可编辑第一章 多项式0时，代入2)可得q2pm1. 用 g(x)除 f (x), 求商q(x)与余式r(x):1) f (x) x 3 3x * 22x 1, g(x) 3x 2x 2) f(x) x 4 2x5,g(x) x 211)由带余除法，可得q(x)亍討(X)26 x92同理可得q(x) x x 1, r(x) 5x 7。
1) 2 x mx 1| x 3px q , 2)2 ..4 2x mx 1 | x px q 。
解 1) 由假设, 所得余式为 0, 即(p 所以当 p 1 2 m 时有x 2 mxq m 0m(2 p m 2) 0 2) m, p,q 适合什么条件时，有 2. 1 |xq 1 p2，于是当m 21 m2 )x (q m) 0,pxm 0时，代入(2)可得综上所诉，当时，皆有x 2mx 1|x 4 px 2 q 。
1) f(x)2x 5 5x 3 8x, g(x) x3 ; 2) f (x) x 3 x 2x, g(x) x 12i 。
1)q(x) 2x 4 6x 3 1 13x 239x 109r(x) 327q(x ))x 22ix(52i)or(x) 9 8i求g(x)除f (x)的商q(x)与余式:解 2) 把f (x)表示成x X o 的方幕和，即表成3.4.C o C|(X X o ) C 2(X X o )2... C n (X X 。
)" L 的形式:51) f (X ) X , X o 1 ； 2)f (X ) x 4 2X 2 3,X o 2 ；3) 43f (X ) X 2ix (1i)x 23X 7 i,X o i o解 1)由综合除法，可得 f(x)1 5(X 1) 10(x21) 10(x 1)3 5(X 1)4 (X 1)5 ； 2) 由综合除法，可得 X 42X 2 3 11 24(X 2) 22(X 2)2 8(X2)3 (X 2)4 ;3) 由综合除法，可得X 42ix 3(1 i)x 2 3X (7i)(7 5i) 5(X i) ( 1 i)(x i)2 2i(x i)3 (X i)4。
5.求f (X )与g(x)的最大公因式： 1) f (X) 4X3X23X 4X1,g(x) X 3 x 2 X 1 ；2)f (X) 4X 4X 3 1,g(x) X 3 3X 21 ；3)f (X)4X 10x 2 1,g(x)X 4 4.2x 3 6X 2 4. 2X 1 o解 1) (f(x),g(x)) X 1 ； 2)(f (X),g(x))1 ；3) (f (x),g(x)) X 2 2」2X 1 o6.求 u(x),v(x) 使 u(x)f (X ) v(x)g(x) (f (X), g(x)) o 1) f (X ) x 4 2X 3 x 2 4X 2, g(x) x 4 x 3 X 2 2X 2 ； 2) f (X ) 4X 4 2X 316X 2 5X 9, g (X ) 2X 3 X 2 5X 4 ；43223) f (X ) X X 4X 4X 1,g(X ) X x 1。
2解 1)因为(f(x),g(x)) X 2 r 2(x)f (X ) q(x)g(x) n(x)再由，g(x) q 2(x)n(x) D (X )解得「2(X)g(x) q2(x)「1(x)g(x) Mg)[q2(x)]f(x) [1 q(x)q2(x)]g(x)曰u(x) q2(x) x 1疋v(x) 1 q(x)q2(x) 1 1c(x 1) x 2式，求t,u的值。
(u 2t 4) 0u(3 t) 0 '从而可解得u1或u22o t12 t238.证明：如果d(x) | f (x), d (x) | g(x)，且d(x)为f (x)与g(x)的组合，那么d (x)是f (x) 与g(x)的一个最大公因式。
证易见d(x)是f (x)与g(x)的公因式。
另设(x)是f(x)与g(x)的任一公因式，下证(x) |d(x) o由于d (x)是f (x)与g(x)的一个组合，这就是说存在多项式s(x)与t(x)，使d(x) s(x) f(x) t(x)g(x),从而由(x) | f (x), (x) | g(x)可得(x) | d(x)，得证。
9 •证明:(f (x)h(x), g(x)h(x)) (f (x), g(x))h(x), (h(x)的首系数为1)q(x)g(x)]2)仿上面方法，可得(f (x), g(x)) x 1，且u(x) %x) 2 x23 33)由(f(x), g(x)) 1 可得u(x) x 1,v(x) 3x7 .设f (x) x3(1 t)x22x 2u 与g(x) x3tx2u的最大公因式是一个二次多项解因为f (x)g(x) q(x)g(x)q2(x)n(xA(x) (x3D(x)tx2u) (x22x u)(x (t 2))( x22x u) (u 2t 4)x u(3 t)，且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式h(x)为0,即证因为存在多项式u(x), v(x)使(f (x), g(x)) u(x)f (x) v(x)g(x),所以(f (x), g(x))h(x) u(x) f (x)h(x) v(x)g(x)h(x),上式说明(f (x), g(x))h(x)是 f (x)h(x)与 g(x)h(x)的一个组合。
另一方面，由(f (x), g(x)) | f (x)知(f (x),g(x))h(x)| f (x)h(x), 同理可得(f(x),g(x))h(x)|g(x)h(x)，从而(f (x), g(x))h(x)是f (x)h(x)与g(x)h(x)的一个最大公因式，又因为(f (x), g(x))h(x)的首项系数为 1,所以(f (x)h(x), g(x)h(x))(f (x), g(x))h(x)。
10.如果f(x), g(x)不全为零，证明：f(x) g(x) 1-------------- , ---------------- I 。
(f(x),g(x)) (f(x),g(x))证 存在 u(x),v(x)使(f (x), g(x)) u(x) f (x) v(x)g(x), 又因为f(x),g(x)不全为0,所以(f(x),g(x)) 0 ,所以f (x), g (x)i 。
(f (x),g(x)) (f (x),g(x))11 .证明：如果 f (x), g(x)不全为零，且 u(x) f (x) v(x)g(x) (f (x),g(x)),那么(u(x), v(x)) 1。
证 由上题证明类似可得结论。
12.证明：如果(f(x),g(x))1,( f(x),h(x)) 1，那么(f(x), g(x)h(x)) 1。
证 由假设，存在 U |(x), v-i (x)及u 2(x), v 2(x)使U 1(x)f(x) v'x)g(x) 1 (1)U 2(x)f(x) v 2(x)h(x)1(2)将(1) (2)两式相乘，得[u (x)u 2(x) f(x) v (x)u 2(x)g(x) u (x)v ?(x)h(x)] f (x) [V 1(x)v 2(x)]g(x)h(x) 1'由消去律可得1 u(x)心 v(x)心所以(f (x),g(x)h(x)) 1。
13.设f i(x),..., f m(x), g i(x),..., g n(x)都是多项式，而且(f i(x), g j(x)) 1 (i 1,2,..., m; j 1,2,..., n)。
求证：(f/x) f2(x)…f m(x), gdx)g2(x)…g n(x)) 1。
证由于(f1(x),gdx)) 1(f,x),g2(x)) 1(f1(x),g n(x)) 1反复应用第12题结论，可得(f1(x), gdx)g2(x)...g n(x)) 1，同理可证(f2(x),gdx)g2(x)…g n(x)) 1................................................ ..(f m(x),g(x)g2(x)...g n(x)) 1从而可得(f1(x) f2(x)…f m(x), g1(x)g2(x)…g n(x)) 1。
14.证明：如果(f(x), g(x)) 1，那么(f(x)g(x), f (x) g(x)) 1。
证由题设知(f (x), g(x)) 1，所以存在u(x), v(x)使u(x) f (x) v(x)g(x) 1 , 从而u(x)f (x) v(x)f (x) v(x)f (x) v(x)g(x) 1 ,即[u(x) v(x)]f(x) v(x)[ f(x) g(x)] 1 ,所以(f(x), f(x) g(x)) 1。
同理(g(x), f(x) g(x)) 1。
再由12 题结论，即证(f (x)g(x), f(x) g(x)) 1。
15.求下列多项式的公共根f(x) x3 2x2 2x 1,g(x) x4 x3 2x2 x 1解由辗转相除法，可求得(f (x), g(x)) x2 x 1，所以它们的公共根为2) f (x) 4x 3 8x 4， (f (x), f (x)) 1，所以 f (x)无重因式。
17.求t 值，使f (x) x 3 3x 2 tx 1有重根。
解 易知f (x)有三重根x 1时，t 3。
若令3 2 2x 3x tx 1 (x a) (x b)，比较两端系数，得3 2a b t a 2 2ab 1 a 2b1由(1), (3 )得2 a 3 3a 2 1 0，解得a 的三个根为a 1,a 2 1,a 3 —,将a 的三个根 25 分别代入(1),得0 1,b 2 1,b 3 4。
再将它们代入(2)，得t 的三个根t 1 3,t 2 3,t 3451当t 1,2 3时f (x)有3重根x 1 ；当t 34时，f (x)有2重根x -。
318. 求多项式x px q 有重根的条件。
解 令 f (x) x 3 px q ，则 f (x) 3x 2 p ,显然当 p 0 时，只有当 q 0, f(x) x 3 才有三重根。
下设p 0，且a 为f (x)的重根，那么a 也为f (x)与f (x)的根，即3a pa q 0 23a p 0由(1)可得a(a 2 p) q ，再由(2)有a 2卫。
所以3a( 3 p) q a 色，2p1) f(x) 5x5x 4 2)f(x)4x 4x 2解f (x)5x 4 1)16.判别下列多项式有无重因式: (f (x), f (x))7x 3 2x 2 4x 8 ；4x 3;20x 3 21 x 2 4x 4(x 2)2所以f (x)有x 2的三重因式。