（2）用反证法。假设 + + 是 的属于特征值 的特征向量，于是有
即
由于 ， ， 线性无关，因此 ，这与 互不相等矛盾。所以， + + 不是
的特征向量。
二（10分）、
解:
三（10分）、
解:
，
。
四（12分）、
解：令
解齐次方程组
解齐次方程组
解齐次方程组
五（10分）、
解： ；又
，；显然
六（12分）、
解：由于 ，所以 是正规矩阵。
。
（3）
证明：设 的特征值是 ，对应的特征向量为 ，则 ， 。
两边取范数，得
，
从范数的相容性，得
，
因为 ，则 ，这样
。
由于上式对任意的特征值都成立，故 。
八（12分）、讨论下列矩阵幂级数的敛散性。
解：（1）设 ，则 的特征值为 ， ，
从而 的谱半径为 。
因为幂级数 的收敛半径为 ，
则 ，从而 是发散的。
（2）试证：矩阵 相似于矩阵 ，其中 为非零常数, 为任意常数.
（3）设 为一个 阶矩阵且满足 ，证明： 相似于一个对角矩阵。
第一套试题答案
一（10分）、
证明：（1）设 + + =0，①
用 作用式①两端，有 + + =0②
①-②，有 ③
再用 作用式③两端，有 ④
③ -④，有 。
由于 互不相等， ，因此 ，将其代入④，有 ，利用①，有 。故 ， ， 是线性无关的。
（2） ，则 的特征值为 ， ，
从而 的谱半径为 。
因为幂级数 的收敛半径为 ，
则 ，故 是绝对收敛的。
九（10分）、在以下题目中任选一个。
（4）证：
必要性：
充分性：因为 是Hermite矩阵，所以 是正规矩阵，因此存在酉矩阵 使
又 正定，所以 都大于0；因此
则
（2）证: , ,
显然 的行列式因子为: ，
第一套试题
一（10分）、设 是数域F上的线性空间 的线性变换， ， ， 分别为 的三个互不相同的特征值 ， ， 的特征向量。
（1）证明： ， ， 是线性无关的；
（2）证明： + + 不是 的特准形。
三（10分）、求矩阵 的Jordan标准形.
四（12分）、设有正规矩阵 ，试求酉矩阵 ，使 为对角阵。
五（10分）、设 。
验证：
六（12分）、验证矩阵 为正规矩阵，并求 的谱分解。
七（14分）、设 。计算
（1） 的谱半径；
（2） ， ， ；
（3）设 ，证明： ，其中 是 的任何一种范数。
八（12分）、讨论下列矩阵幂级数的敛散性。
（1） ，（2）
九（10分）、在以下题目中任选一个。
（1）设有Hermite矩阵 试证： 是正定的充要条件，是存在可逆矩阵 使
由 得 的特征值为
。
属于特征值 的正交单位特征向量为 ；属于 的单位特征向量为 。
因此 的正交投影矩阵为
；
所以 的谱分解为
七（14分）、
解： 的特征多项式为 ，则 特征值为 ， 。
（1） 的谱半径为 。
（2）容易计算 的1—范数为
；
的 —范数为
；
因为
，
则 的特征多项式为
，
所以 的特征为 ， ，故 的2—范数为
的行列式因子为: ，
于是 与 具有相同的行列式因子, 从而
（3）
证：设 是 的任意一个特征值， 是 的属于特征值 的特征向量，即 ，那么由 ，可得 ，于是 的特征值为2和3.
注意到 ,所以 .另一方面，
所以， 。
设 ，则 。于是 的基础解系有 个解向量，即 有 个线性无关的特征向量。
再看 的基础解系有 个解向量，即 有 个线性无关的特征向量。
由于不同特征值的特征向量线性无关，因此 有 个线性无关的特征向量，于是 可对角化。
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