第六章 数列第30讲 等差数列中的基本问题A 应知应会一、 选择题1. 已知等差数列{a n }满足：a 3＝13,a 13＝33,则数列{a n }的公差为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. (2019·福州检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3＝2,a 6＝8,则S 8等于( ) A. 20 B. 40 C. 60 D. 803. (2019·合肥检测)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ),a 5＋a 7－a 26 ＝0,则S 11的值为( )A. 11B. 12C. 20D. 22 4. (多选)下列关于等差数列的命题中正确的有( ) A. 若a ,b ,c 成等差数列,则a 2,b 2,c 2一定成等差数列 B. 若a ,b ,c 成等差数列,则2a ,2b ,2c 可能成等差数列C. 若a ,b ,c 成等差数列,则ka ＋2,kb ＋2,kc ＋2一定成等差数列D. 若a ,b ,c 成等差数列,则1a ,1b ,1c可能成等差数列5. (多选)首项为正数,公差不为0的等差数列{a n },其前n 项和为S n ,下列命题中正确的有( )A. 若S 10＝0,则S 2＋S 8＝0B. 若S 4＝S 12,则使S n ＞0的最大的n 为15C. 若S 15＞0,S 16＜0,则{S n }中S 8最大D. 若S 7＜S 8,则S 8＜S 9 二、 解答题6. 数列{a n }是等差数列的充要条件是{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn ,其中a ,b 是与n 无关的常量,换句话说,如果一个数列的前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c ,c ≠0,那么这个数列一定不是等差数列,请举出两个这样的例子：一个数列不是等差数列,但其前n 项和S n 可以写成S n ＝an 2＋bn ＋c ,c ≠0,并求出S n ＝an 2＋bn ＋c ,c ≠0对应的通项公式．7. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1,a n ≠0,a n a n ＋1＝λS n －1,其中λ为常数． (1) 求证：a n ＋2－a n ＝λ；(2) 是否存在λ,使得{a n }为等差数列？并说明理由．B 组 能力提升一、 填空题 1. (2019·江苏如东检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 13＝52,则a 4＋a 8＋a 9＝________．2. (2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 1≠0,a 2＝3a 1,则S 10S 5＝________．3. (2019·江苏海门中学)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若m 为大于1的正整数,且a m －1－a 2m ＋a m ＋1＝1,S 2m －1＝11,则m ＝________．4. (2019·深圳调研)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1＝3,当n ≥2时,有S n ＋S n －1－2S n S n－1＝2na n ,则使得S 1S 2·…·S m ≥2 019成立的正整数m 的最小值为________．二、 解答题5. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *,满足a 1＋a 2＝10,S 5＝40. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝|13－a n |,求数列{b n }的前n 项和T n .6. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 5＋a 13＝34,S 3＝9. (1) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式；(2) 设数列{b n }的通项公式为b n ＝a na n ＋t ,问：是否存在正整数t ,使得b 1,b 2,b m (m ≥3,m ∈N)成等差数列？若存在,求出t 和m 的值；若不存在,请说明理由．第31讲 等比数列中的基本问题A 应知应会一、 选择题 1. (2019·九江一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝6,S 6＝54,则数列{a n }的公比为( )A. 13B. 12C. 2D. 3 2. 已知数列{a n }为等比数列,若a 4＋a 6＝10,则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A. 10 B. 20 C. 100 D. 200 3. (2019·郑州质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)(n ∈N *),a 1a 2a 3＝－27,则a 5等于( )A. 81B. 24C. －81D. －244. (多选)已知数列{a n }是等比数列,下列四个命题中正确的是( ) A. 数列{|a n |}是等比数列 B. 数列{a n a n ＋1}是等比数列C. 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列D. 数列{lg a 2n }是等比数列5. (多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关,初行健步不为难；次日脚痛减一半,如此六日过其关．”则下列说法中正确的是( )A. 此人第二天走了九十六里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C. 此人第三天走的路程占全程的18D. 此人后三天共走了42里路 二、 解答题6. 在①b 1＋b 3＝b 2；②a 4＝b 4；③S 5＝－25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k 存在,求k 的值；若k 不存在,请说明理由．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,{b n }是等比数列,________,b 1＝a 5,b 2＝3,b 5＝－81,是否存在k ,使得S k <S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2?注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．7. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1,且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.B 组 能力提升一、 填空题 1. (2019·深圳二调)已知等比数列{a n }满足a n <a n ＋1,且a 2＋a 4＝20,a 3＝8,则数列{a n }的前10项的和为________．2. (2019·扬州期末)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3＝7,S 6＝63,则a 1＝________．3. (2019·宿迁期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a n ＋1－2a n ＝1,a 1＝1,则S 9＝________．4. 已知等比数列{a n }(n ＝1,2,3)满足a n ＋1＝2－|a n |,若a 1＞0,则a 1＝________． 二、 解答题5. 已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12 n,记T 2n 为{a n }的前2n 项的和,b n ＝a 2n ＋a 2n －1,n ∈N*.(1) 判断数列{b n }是否为等比数列,并求出b n ； (2) 求T 2n .6. (2019·江苏海安中学)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝1,S n ＋1＝4a n ＋2. (1) 设b n ＝a n ＋1－2a n ,求证：数列{b n }是等比数列； (2) 求数列{a n }的通项公式．第32讲 数列通项的求法A 应知应会一、 选择题1. 下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是( ) A. a n ＝1 B. a n ＝（－1）n ＋12C. a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2D. a n ＝（－1）n －1＋322. 已知在正项数列{a n }中,a 1＝1,a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1 ＋a 2n －1 (n ≥2),则a 6等于( )A. 16B. 4C. 22D. 453. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若3S n ＝2a n －3n ,则a 2 018等于( ) A. 22 018－1 B. 32 018－6 C. ⎝⎛⎭⎫12 2 018－72 D. ⎝⎛⎭⎫13 2 018－1034. 若数列{a n }满足a 1＝2,a 2＝3,a n ＝a n －1a n －2 (n ≥3且n ∈N *),则a 2 020等于( )A. 3B. 2C. 12D. 235. (2019·咸阳检测)已知正项数列{a n }中,a 1 ＋a 2 ＋…＋a n ＝n （n ＋1）2(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为( ) A. a n ＝n B. a n ＝n 2C. a n ＝n 2D. a n ＝n 22二、 解答题6. 已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝3a na n ＋3 (n ∈N *),求通项a n .7. (2019·启东一中)已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和,且满足S n ＝12 a 2n＋12 a n (n ∈N *). (1) 求a 1,a 2,a 3,a 4的值；(2) 求数列{a n }的通项公式．B 组 能力提升一、 填空题1. 数列1,23 ,35 ,47 ,59,…的一个通项公式a n ＝________．2. 设数列{a n }满足a 1＝1,(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *),则{a n }的通项公式为________,∑=1001k (a k a k ＋1)的值为________．3. (2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和,若S n ＝2a n ＋1,则S 6＝________．4. 意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,即F(1)＝F(2)＝1,F(n)＝F(n －1)＋F(n －2)(n ≥3,n ∈N *),此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用,若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{b n },则b 2 020＝________．二、 解答题5. 已知数列{a n }中,a 1＝1,前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1) 求a 2,a 3；(2) 求{a n }的通项公式．6. (2019·南通中学)已知数列{a n }的各项均为正数,记数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a 2n }的前n 项和为T n ,且3T n ＝S 2n ＋2S n ,n ∈N *.(1) 求a 1的值；(2) 求数列{a n }的通项公式．第33讲 数列的求和课时1 可转化为等差、等比数列的求和A 应知应会一、 选择题1. 数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A. 1＋2nB. 2＋2nC. n ＋2n －1D. n ＋2＋2n2. 在等比数列{a n }中,S n 是它的前n 项和,若q ＝2,且a 2与2a 4的等差中项为18,则S 5等于( )A. 62B. －62C. 32D. －323. 已知数列5,6,1,－5,…,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S 16等于( )A. 5B. 6C. 7D. 16 4. (2019·厦门一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＝1,2S n ＝a n ＋1a n ,则S 20等于( ) A. 410 B. 400 C. 210 D. 2005. 1＋⎝⎛⎭⎫1＋12 ＋1＋12 ＋14 ＋…＋(1＋12 ＋14 ＋…＋1210 )的值为( ) A. 18＋129 B. 20＋1210 C. 22＋1211 D. 18＋1210二、 解答题6. 已知数列{x n }的首项x 1＝3,通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *,p ,q 为常数),且x 1,x 4,x 5成等差数列． (1) 求p ,q 的值；(2) 求数列{x n }的前n 项和S n .7. 设数列{a n }满足a 1＝2,a n ＋1－a n ＝3·4n (n ∈N ). (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 令b n ＝n ＋a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .B 组 能力提升一、 填空题1. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1),则该数列的前100项之和为________．2. (2019·商丘质检)有穷数列1,1＋2,1＋2＋4,…,1＋2＋4＋…＋2n －1所有项的和为________．3. 已知数列{a n }满足a 1＝1,1a 2n＋2 ＝1a n ＋1 (n ∈N *),记b n ＝a 2n ,则数列{b n b n ＋1}的前n 项和S n ＝________．4. 若数列{a n }满足a n －(－1)n a n －1＝n (n ≥2),S n 是{a n }的前n 项和,则S 40＝________．二、 解答题5. 已知数列{a n }：a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,构造一个新数列：a 1,(a 2－a 1),(a 3－a 2),…,(a n －a n －1),…,此数列是首项为1,公比为13的等比数列．(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 求数列{a n }的前n 项和S n .6. 已知数列{a n }满足1a 1a 2 ＋1a 2a 3 ＋…＋1a n a n ＋1 ＝nn ＋1 .(1) 若数列{a n }为公差大于0的等差数列,求{a n }的通项公式；(2) 若b n ＝(－1)n a n a n ＋1,求数列{b n }的前2n 项和S 2n .课时2 裂项相消法与错位相减法A 应知应会一、 选择题1. 已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2),令a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ） ,n ∈N *,记数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 2 019等于( )A. 2 018 －1B. 2 019 －1C. 2 020 －1D. 2 020 ＋12. (2019·深圳高级中学)在数列{a n }中,a 1＝12 019 ,a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1） (n ∈N *),则a 2 019的值为( )A. 1B. －1C.12 019 D. 12 0203. (2019·河南六市联考)已知在数列{a n }中,a 1＝1,且对任意的m ,n ∈N *,都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ,则∑=20191i 1a i等于( ) A .2 0192 020 B . 2 0182 019 C . 2 0181 010 D . 2 0191 0104. (2019·合肥质检)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是100－200⎝⎛⎭⎫910 n 万元,则n 的值为( )(第4题)A. 7B. 8C. 9D. 105. (2019·衡水中学)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且a n ＞0,6S n ＝a 2n ＋3a n ,n ∈N *,b n ＝2a n（2a n －1）（2a n ＋1－1）.若n ∈N *,k ＞T n 恒成立,则k 的最小值是( )A. 17 B.149 C. 49 D.8441二、解答题6. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且满足2S n＝2n＋1＋m(m∈R).(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 若数列{b n}满足b n＝1（2n＋1）log2（a n·a n＋1）,求数列{b n}的前n项和T n.7. 在等差数列{a n}中,已知a3＝5,a1＋a2＋…＋a7＝49.(1) 求a n；(2) b n＝________,设数列{b n}的前n项和为S n,并求满足S n<k的最小正整数k的值．在①1a n a n＋1；②a n2n这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并完成上面问题．B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·.南通中学)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2＝12,S n ＝kn 2－1(n ∈N *),则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为________．2. 已知函数f (x )＝ax 2－1的图象在点A (1,f (1))处的切线与直线x ＋8y ＝0垂直,若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ） 的前n 项和为S n ,则S n ＝________． 3. (2019·南通三调)设数列{a n }满足a 1＝1,(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *),则∑=1001k (a k a k ＋1)的值为________．4. 设S n 为各项不相等的等差数列{a n }的前n 项和,已知a 3a 5＝3a 7,S 3＝9,则{a n }的通项公式为________；设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1 的前n 项和,则T n a n ＋1 的最大值为________． 二、 解答题5. 已知{a n }是首项为1的等比数列,各项均为正数,且a 2＋a 3＝12.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝1（n ＋2）log 3a n ＋1,求数列{b n }的前n 项和S n .6. 已知{a n }是递增的等比数列,a 2＋a 3＝4,a 1a 4＝3.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 令b n ＝na n ,求数列{b n }的前n 项和S n .微难点7 数列中奇偶项问题一、 选择题1. 已知等比数列{a n }中,a 3＝2,a 4a 6＝16,则a 10－a 12a 6－a 8的值为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 162. 已知等比数列{a n }共有奇数项,所有奇数项和S 奇＝255,所有偶数项和S 偶＝－126,末项是192,则首项a 1等于( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、 填空题3. 在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋2＋(－1)n a n ＝1.记S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 100＝________．4. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(3n －2),则前100项和S 100＝________．5. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝1,a 2＝2,且a n ＋2＝2S n －S n ＋1＋3,记b n ＝log 2a 2n －1＋log 2a 2n ,则数列{(－1)n ·b 2n }的前10项和为________．6. 已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *),则S 2 020＝________．三、 解答题7. 在数列{a n }中,a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，3n ，n 为偶数， 求其前n 项和S n .8. 已知S n 是正项数列{a n }的前n 项和,且2S n ＝a 2n ＋a n ,等比数列{b n }的公比q ＞1,b 1＝2,且b 1,b 3,b 2＋10成等差数列．(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2) 设c n ＝a n ·b n ＋(－1)n ·2n ＋1a n ·a n ＋1,记T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2n ,求T 2n .。