第3章 扭转
3.1 扭转的概念和实例 3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 3.3 纯剪切 3.4 圆轴扭转时的应力 3.5 圆轴扭转时的变形
第3章 扭转
【基本内容】
一、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 二、纯剪切的概念，薄壁圆筒扭转时的切应力 三、切应力互等定理 四、圆轴扭转的强度条件 五、圆轴扭转的刚度条件
1 r （r：为平均半径）
10
一、薄壁圆筒切应力
圆筒沿轴线方向尺寸没变——
Me
横截面上没有正应力
圆筒沿径向方向尺寸没变——
横截面径向切应力为零
圆筒横截面沿轴线有相对转动——
横截面切应力方向与半径垂直
由Mx 0
有Me 2rr
Me 2r 2
pq
pq
l
A' A B
B'
Me
A AB'
o
r
B'
二、切应力互等定理
截面上扭矩为T时．最大剪应力为 。若截面
上A点距外周边的距离为0.1D．则A点的剪应力 是( )
3.5 圆轴扭转时的变形
扭转变形的标志是两个横截面间绕轴线的
相对转角
dxd
G
T
Ip
Tl GI p
GI p 称为圆轴的抗扭刚度
刚度要求：单位扭转角不能超过允许值[ ' ] 单位 (/m)
'max T 180 [']
1
2
3
mB
(a)
T1
mB
(b)
(c)
mC
T2
T3
mD
T135N0m 350 1 350 2
1146 3
446
T270N0m
T3 4 4N6m
3）绘制扭矩图
B
C
A
D
1
2
3
T(Nm)
446
x
350 700
跟踪训练
1.受扭圆轴如图所示，1一1．2-2横截面上的 扭矩分别是( ）．
3m 3m
2m
3.3 纯剪切
例3.1 轴的转速为n =300r/min，主动轮A输入功率为
PA=36kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB=PC=11kW， PD=14kW，试做轴的扭矩图。
解：1)计算外力偶矩
B
C
A
D
mA
9549PA n
9549 36 1146(Nm) 300
mB
mC
9549PB n
9549 11 350(Nm) 300
Ip
D 4
32
Ip
(D4
32
d4)
D 3
Wt 16
W t 16D(D4d4)
跟踪训练
2.实心受扭圆轴在弹性变形时，横截面上剪应力 的分布图是( )，图中T为扭矩。
跟踪训练
3.空心受扭圆轴在弹性变形时，横截面上剪应力 的分布图是( )，图中T为扭矩。
T A
T B
T C
T D
跟踪训练
4.空心圆轴的内径为d，外径为D, D=2d。当横
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[]
刚度条件的应用
'maxGTIp
180
[']
作业：3.1(b,c)
3.5 3.11
l为圆筒的长度
Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r
四、剪切胡克定律
扭转实验表明，切应力低于材料的剪切比例 极限时，扭转角与扭转力偶矩成正比，可以 得到：
G
这就是剪切胡克定律。其中G为材料的剪切 模量。
剪切模量、弹性模量，泊松比三个弹性常量 满足以下关系：
G E
2(1 )
3.4 圆轴扭转时的应力
一、平面假设
圆周扭转变形前的横截面变形后仍为平 面， 形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻 两截面间的距离不变。
由此求出外力偶矩的计算公式：
Me
9549
P n
(N
m)
P——轴传递的功率kw n——轴的转速r/min
Me——作用在轴上的力偶矩N m
二、扭矩和扭矩图
1.截面法求内力
n
Mx 0
T Me 0 T Me
n
Me
Me
“ T ”称为横截面
x
上的扭矩
T
2.扭矩的符号规定：
按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为 负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）
得 '
y
上式表明：在单元体相互垂直
的两个平面上，切应力成对存 t
'
在且数值相等，两者都垂直于
两平面的交线，其方向则共同 dy
指向或共同背离该交线，这就
'
x
是切应力互等定理。
z dx
在单元体上、下、左、右四个侧面上只有切应力， 没有正应力的情况称为纯剪切。
三、切应变
pq
Me
r l
pq
l
其中,为两端面横截面的 扭相 转对 角
【重点和难点】
重点：外力偶矩的计算，扭矩图的作法，圆轴扭转时 强度条件和刚度条件的应用
难点：横截面上切应力的推导
3.1 扭转的概念和实例
一、工程实例
二、受力特点 杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、 且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
三、变形特点 杆件的任意横截面绕杆件轴线发生相对 转动。
扭转变形的零件，通常为轴类零件，横截面大 都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
直接计算
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一、外力偶矩
作用于轴上的外力偶矩往往是由轴所传递 的功率和轴的转速来计算的。
已知：传动轴功率p(kw)
转速n(r/min)，
Me
求： 外力偶矩Me
传动轴每秒输入功：WP10(N 0m 0)
力偶每秒完成做功：WMe26n0(Nm)
3
1
2
解：1.计算外力偶矩
m1
m2
0.3m
m 1 95p n 14 995 1 0 4 .7.8 5 9 5 3 36 .3 9 N m
m3
0.4m
m 39
5p 34 995 2 4 .99 8 1N 5m 5
n
1.8 53
M x 0m 2 m 1 m 3 1.3 N 9 m 4
2.做扭矩图
T A dA(1)
2.剪切胡克定律 G (2)
3.变形几何关系
dxd(3) Me
由(1)(2)(3)式得
T
Ip
x dx
dA
x
γ d R
等圆截面直杆扭转横截面上切应力的计算公式
Me
τρ
Tρ Ip
x
其中T——为横截面扭矩
Ip —— 称为横截面对圆心的极惯性矩
——求应力的点到圆心的距离。
IpA
3.根据强度条件确定直径
maxTW mtax1T 6Dm3ax[]
D31T [6 m ]a x31 4 61 015605 m2.7 2mm 319.3
4.根据刚度条件确定直径
194.3 2
'maxT G mpa Ix 180 3 G T 2 D m 4a x 18[0 m']1
D 4
32Tmax180
80109 15(5300.4103)4
32
9.75103rad
1
2
m1
m2
0.3m
T(Nm)
39.3
0.4m
3
m3
13 12 23 1.85103 9.75103
7.9103rad
x
155
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
Me
9549
P n
(N
m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
mD
9549PD n
9549 14 446(Nm) 300
2)截面法求扭矩（扭矩按正方向设）
由平衡方程 Mx 0依次有 350 1
350 2
11463
446
T1 mB 0 T1 350N m
T2 mB mC 0 T2 700N m
T3 mD 0 T3 446N m
B
C
A
D
o
x
γ
平面假设推论：
(1)相邻两截面间的距离不变→ 横截面上无正应力. (2)横截面大小和形状不变，只是绕轴线作了相对转动
→ 径向无正应力 (3)纵向线倾斜→ 横截面上有切应力,且垂直于半径.
(4)各纵向线均倾斜了同一微小角度
→ 同一圆周上的切应力均匀分布.
o
x
γ
二、等圆截面直杆扭转横截面上切应力的建立 1.静力关系
3.扭矩图 表示扭矩沿轴线各截面上的变化情况。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
注意 用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正， 如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如 果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭
矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。
1. 用相邻的两个横截面
Me
和两个过轴线的纵向
面，从圆筒中取出微
单元体。y
dy
x
z dx
r
x
y
两侧面的切应力数值相等，
方向相反，组成一个力矩为
'
(dy)dx的力偶。
为保持平衡，上下两个 dy
x
侧面必有切应力组成力偶与
'
之相平衡。( 'dx)dy