数字信号处理电子教案第六章无限脉冲响应数字滤波器设计江西理工大学物理教研室2010年11月7日数字信号处理教案数字信号处理教案数字信号处理教案6.1 数字滤波器基本概念数字滤波器是指完成信号滤波处理功能的，用有限精度算法实现的离散时间线性非时变系统，其输入是一组数字量，其输出是经过变换的另一组数字量。

因此，它本身即可以是用数字硬件装配成的一台完成给定运算的专用数字计算机，也可以是将所需运算编成程序，让通用计算机来执行。

数字滤波器具有稳定性高、精度高、灵活性大等优点。

随着数字技术的发展，用数字技术实现滤波器的功能越来越受到人们的注意和广泛的应用。

一、 常用滤波器的性能指标滤波器性能一般用系统频率特性)(ωj e H 来说明，常用的性能指标主要有以下三个参数：1. 幅度平方函数2*()()*()()() ()()j j j j j j z e H e H e H e H e H e H z H z ωωωωωω-==⋅==该性能指标主要用来说明系统的幅频特性。

2. 相位函数()()Re[()]Im[()]()j j j j j j e H e H e j H e H e e ωωωωωβ=+=其中：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=)](Re[)](Im[)(ωωωβj j j e H e H arctg e 该指标主要用来说明系统的相位特性。

3. 群延时ωβωτωd e d j )]([)(-=定义为相位对角频率导数的负值，说明了滤波器对不同的频率成分的平均延时。

当要求在通带内的群延迟是常数时，滤波器相位响应特性应该是线性的。

二、实际滤波器的频率特性实际设计中所能得到的滤波器的频率特性与理想滤波器的频率特性之间存在着一些显著的差别，现以低通滤波器的频率特性为例进行说明。

1. 理想滤波器的特性：设滤波器输入信号为)(t x ，信号中混入噪音)(t u ，它们有不同的频率成分。

滤波器的单位脉冲响应为)(t h 。

则理想滤波器输出为：()[()()]()()y t x t u t h t K x t τ=+*=⋅- （6-1）即噪音信号被滤除0)()(=*t h t u ，而信号无失真只有延时和线性放大。

对(6-1)式作傅里叶变换得：()()()()()()j Y j X j H j U j H j Ke X j τ-ΩΩ=Ω⋅Ω+Ω⋅Ω=Ω （6-2）假定噪音信号被滤除，即()()0U j H j Ω⋅Ω= （6-3）将（6-3）式代入（6-2）式整理得：()()()j Y j H j Ke X j τ-ΩΩΩ==Ω假定信号频率成分为：c Ω≤Ω，噪音频率成分为c Ω>Ω。

则完成滤波的理想低通滤波器特性是：||()()()0 ||j c cK eY j H j X j τ-Ω⎧⋅Ω≤ΩΩΩ==⎨ΩΩ>Ω⎩ （6-4） 即 |||()|0 ||cc K H j Ω≤Ω⎧Ω=⎨Ω>Ω⎩arg(())H j τΩ=-Ω系统的单位脉冲响应为：sin[()]1()2()ccj j t c t h t Ke e d Kt ττππτΩ-ΩΩ-Ω-Ω=⋅Ω=-⎰（6-6）理性低通滤波器的频率特性如图6-1所示，单位脉冲响应的波形如图6-2所示。

2. 实际滤波器特性理想滤波器具有非因果、无限长的单位脉冲响应和不连续的频率特性，要用稳定的线性时不变（LTI ）系统来实现这样的特性是不可能的。

工程上是用脉冲响应为有限长的、因果的、稳定的线性时不变系统或具有连续频率特性的线性时不变系统来逼近理想特性。

在满足一定的误差要求的情况下来实现理想滤波特性。

因此实际的滤波器的频率特性如图6-3所示。

其中c ω——截止频率 s ω——阻带起始频率c s ωω-——过渡带宽在通带内幅度响应以1σ±的误差接近于1，即111()1j c H e ωσσωω-≤≤+≤s ω为阻带起始频率，在阻带内幅度响应以小于2σ的误差接近于零，即2()j s H e ωσωωπ≤≤≤c图6-1 理想低通滤波器频率特性h(t)t图6-2 理性滤波器的单位脉冲响应(0τ=)11δ+1σ-2σ图6-3 实际滤波器的频率特性c sω为了使逼近理想低通滤波器的方法成为可能，还必须提供一带宽为s c ωω-的不为零的过渡带。

在这个频带内，幅度响应从通带平滑的下落到阻带。

三、设计无限长单位脉冲响应数字滤波器的常用方法常用的IIR 滤波器设计方法主要有以下几种：1. 以模拟滤波器函数为基础的变换法；即先设计一满足指定条件的模拟滤波器H(s)，再将该模拟滤波器转化为数字滤波器H(z)。

2. 直接设计法：在z 平面内，根据零、极点对系统特性的影响，调整零极点位置得H(z)。

3. 最优化设计法(计算机辅助设计)，在某种最小化误差准则下，建立差分方程系数 a k 、b i 对理想特性的逼近方程，使用迭代方法解方程组得到最佳逼近系统。

由于此方法计算量大，需要借助于计算机进行设计。

在本书中着重研究第一种方法，即由模拟滤波器设计数字滤波器的方法。

6.2 模拟滤波器设计为了从模拟滤波器设计IIR 数字滤波器，必须先设计一个满足技术指标的模拟原型滤波器。

设计“模拟原型”滤波器有多种方法，如模拟低通逼近有巴特沃斯（Butter worth ）型，切比雪夫（Chebyshev ）型或椭圆（Elliptic ）型。

低通滤波器是最基本的，至于高通、带通、带阻等滤波器可以用频率变换的方法由低通滤波器变换得到。

模拟滤波器设计就是将一组规定的设计要求，转化为相应的模拟系统函数()a H s ，使其逼近某个理想滤波器的特性。

一、根据幅度平方函数确定系统函数模拟滤波器幅度响应常采用“幅度平方函数”2()A Ω表示。

22()()()()a a a s j A H j H s H s =ΩΩ=Ω=- (6-6)式中()a H s 是模拟滤波器的系统函数，它是s 的有理函数。

()a H j Ω是其稳态响应，又称为滤波器的频率响应。

()a H j Ω是滤波器的稳态振幅特性。

从模拟滤波器变换为数字滤波器是从()a H s 开始的，为此必须由已知的2()A Ω求得()a H s 。

这就要将（6-6）式与s 平面的解释联系起来。

设()a H s 有一临界频率（极点或零点）位于0s s =，则()a H s -必有一相应的临界频率落在0s s =-的位置，即当()a H s 的临界频率是落在a jb -±位置时，则()a H s -相应的临界频率必落在a jb + 的位置。

应该指出，纯虚数的临界频率必然是二阶的。

在s 平面上，上述临界频率的特性如图6-4所示。

所得到的对称形式称为象限对称。

图中在j Ω轴上零点处所表示的数代表零点的阶次是二阶的。

图6-4 s 平面的零极点分布任何实际的滤波器都是稳定的，因此极点必落在s 平面的左半平面。

所以落于s 左半平面的极点都属于()a H s ，落于s 右半平面的极点都属于()a H s -。

零点的分布与滤波器的相位特性有关。

如要求最小相位特性，则应选s 平面左半平面的零点为()a H s 的零点；若对相位有特殊要求，则可以以各种不同的组合来分配左半平面和右半平面的零点。

综上所述，可归纳出由2()A Ω确定()a H s 的方法是：（1）根据（6-6）式，代入22s Ω=-或js Ω=-到2()A Ω，得到一个s 平面的函数； （2）求出第一步中所得s 函数的所有零极点，将左半平面的极点分配给()a H s ，右半平面的极点分配给()a H s -，如要求最小相位特性，则应选s 平面左半平面的零点为()a H s 的零点；若对相位没有特殊要求，则可以各种不同的组合来分配左半平面和右半平面的零点。

（3）根据具体情况，对比()A Ω与()a H s 的低频或高频特性就可以确定出增益常数k 。

例6.1 根据以下幅度平方函数2()A Ω确定滤波器的系统函数()a H s 。

2222216(25)()(49)(36)A -ΩΩ=+Ω+Ω 解：（1）根据（6-6）式，代入22s Ω=-到2()A Ω，得到一个s 平面的函数；222222216(25)()()()(49)(36)a a s s H s H s A s s Ω=-+-=Ω=-- （2）求出()()a a H s H s -中所有的零极点，将左半平面极点分配给()a H s ， 极点为：7s =±，6s =± 零点为：5s j =±（二阶）选6,7s s =-=-及一对虚轴零点5s j =±为的()a H s 极点和零点，即20(25)()(6)(7)a k s H s s s +=++ （6-7） （3）根据()A Ω低频特性确定出增益常数。

22()()a A H j Ω=Ω 22(0)(0)a A H ∴=代入（6-7）式得200164k k =⇒=，即2224(25)4100()(6)(7)1342a s s H s s s s s ++==++++ 二、巴特沃斯（Butterworth ）低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为2221|()|1NH j C λλ=+ （6-8） 其中C 为一常数参数，N 为滤波器阶数，λ为归一化低通截止频率,/p λ=ΩΩ。

式中N 为整数，是滤波器的阶次。

巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性，这就是说，N 阶低通滤波器在0Ω=处幅度平方函数的前2N-1阶导数等于零，在阻带内的逼近是单调变化的。

巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图6-6所示。

滤波器的特性完全由其阶数N 决定。

当N 增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然由（6-8）式决定了在p Ω=Ω处的幅度函数总是衰减3dB ，但是它们将在通带的更大范围内接近于1，在阻带内更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。

滤波器的振幅特性对参数N 的依赖关系如图6-6所示。

设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为λ，归一化传递函数为()H p ，其中p j λ=，则由（6-6）式和（6-8）式得：2221()1(1)N Np H j C pλλ==+- 由于221()()()1()a a jsNcH s H s A s j Ω=--=Ω=+Ω （6-9）所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。

1、常用设计巴特沃斯低通滤波器指标p λ：通带截止频率； p α：通带衰减，单位：dB ； s λ：阻带起始频率； s α：阻带衰减，单位：dB 。

说明：（1）衰减在这里以分贝（dB ）为单位；即p图6-6 巴特沃斯低通滤波器的振幅特性图6-6 巴特沃斯低通滤波器指标222110lg10lg 1()NC H j αλλ⎡⎤==+⎣⎦（2）当3dB α=时p C Ω=Ω为通常意义上的截止频率。