方法：让学生提前复习前序课程《信号与系统》中的相关内容并进行重点讲解。
教学
难点
及
突破
方法
难点：序列Z变换的收敛域
方法：结合数学知识重点并进行详细推导
相关
内容
素材
1、王世一编著.数字信号处理.北京:北京工业学院出版社,1987
2、胡广书编著.数字信号处理—理论\算法与实现.北京:清华大学出版社,1997
二、讲解要点
§1.3 z反变换
1、定义：已知函数 及其收敛域，求原序列 的变换称为Z反变换，表示为 。
2、求Z反变换的方法，一般有三种：留数定理法，部分分式法，长除法。
教
学
过
程
（1）长除法（幂级数展开法）
因为 的 变换定义为 的幂级数，即
=…+ …
显然只要在给定的收敛域内，把 展成幂级数形式，则级数的系数就是 ，把 展成幂级数的方法很多。例如，①直接将 展开成幂级数，当 是log、sin、cos、sinh等函数时，可利用已知的公式展开。②当 是一个有理分式，分子分母都是 的多项式时，可利用长除法将 展成幂级数形式。
数字信号处理课程
教
案
课程编号：130039
总学时：51周学时：3
适用年级专业（学科类）：三年级通信工程、电子信息工程
开课时间：2010-2011学年第1学期
使用教材：李芬华主编，《数字信号处理》，2007.7
授课教师姓名：田晓燕黄永平
章节
第1章数学基础——Z变换
绪论1.1序列1.2 Z变换及其收敛域
则Z变换满足
式中 、 为任意常数。且
如果线性组合中某些零点与极点相消，则收敛域可能扩大。
2、序列的移位
若
则
其收敛域可能与原来相同，也可能增加（或减少） （或 ）。
3、初值定理
如果 是因果序列，即 =0，n<0，则
4、终值定理
若 是因果序列，且 全部极点，除有一个一阶极点可在z=1处外，其余都在单位圆内，则
设问1：交通灯是一种什么信号？
设问2：连续时间信号与模拟信号有什么不同？离散时间信号与数字信号有何不同？
3、系统：反映信号处理因果关系的设备和运算。根据所处理的信号不同，系统也可分为4类。
教
学
过
程
4、数字信号处理系统的基本组成。
5、数字信号处理的特点。
6、本书的主要研究内容。
§1.1序列
1、定义：序列就是有序排列的一组离散值，这些离散值可以是实数，也可以是复数。数字信号是携带某种信息的数字序列。
= = <1或 >1（1-13）
这说明 的Z变换只在Z平面的一定区域内收敛，这区域 >1称为其Z变换的收敛域。任意序列的Z变换都可以写成级数的形式，但只有在其收敛域内才可能写成封闭形式。根据级数理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可和，即要求
适当选择z的取值范围，使上式成立，则 ，一般情况下，Z变换的收敛域是环状区域，可表示为
2、序列：举例说明离散信号的表示方法；介绍几种常用离散时间信号――单位抽样序列、单位阶跃序列、矩形序列、单边指数序列、正弦序列、复指数序列→正弦序列周期性的判别。
3、序列的Z变换及其收敛域：给出z变换的定义及收敛域的定义，讲述z变换收敛域的两种判定法，讨论几种情况下z变换的收敛域并举例，具体讨论几种常用序列的z变换。
三、小结
本节主要介绍了z反变换的求解方法、z变换的性质、定理及差分方程的概念和求解方法。重点掌握部分分式展开法。差分方程在后续内容中将进一步介绍。
四、思考题
1.8（3）；1.11（2）；1.14（2）、（6）；1.16（2）、（3）；1.18（3）。
教
学
后
记
（1）本次课程内容较多，但部分内容在《信号与系统》课程中已经介绍，提醒同学提起预习。另外，这两门课程中使用的部分符号不同，提醒大家注意。
< <
其中， 、 为收敛半径。说明收敛域是以 、 为半径以原点为中心的两个圆之间的环状区域。
3、不同形式z变换的收敛域
（1）有限长序列：其Z变换的收敛域为（0， ），在一定情况下，收敛域还会扩大。
（2）右边序列：其收敛域是某个圆外的区域，可以写为 ，收敛域是否包括 ，要视它是否为因果序列而定。
教
学
过
相关
内容
素材
1、王世一编著.数字信号处理.北京:北京工业学院出版社,1987
2、胡广书编著.数字信号处理—理论\算法与实现.北京:清华大学出版社,1997
3、吴大正等编著.信号与线性系统分析.北京：高等教育出版社，1998
4、西安交通大学高等教育教研室编著.工程数学复变函数.北京：高等教育出版社，1994
2、数字信号处理中常用的序列运算
（1）两序列的积
（2）两序列的和
（3）序列的标乘
（4）序列的移位（或延时）
（5）序列的卷积
3、常用典型序列：
（1）单位脉冲序列：
（2）单位阶跃序列：
（3）矩形序列：
（4）实指数序列
（5）正弦序列
（6）复指数序列
4、序列的周期性
如果序列对于所有的 值，下式成立
为满足上式的最小正整数，则称序列 为周期序列，且其周期为 。
（2）在讲授序列的Z变换的初值定理和终值定理时，一定要强调初值定理和终值定理应用的前提条件。
（3）应用序列的Z变换的性质后，强调新序列Z变换的收敛域可能发生变化。
一、课程引入
设问：《信号与系统》课程的主要内容是什么？如何定义信号？又如何定义系统？数字信号处理的主要应用范围？
二、讲解要点
绪论
1、以上课过程为例引出信号与系统的概念。
2、信号：是信息的物理表现形式，是传递信息的函数。可以有多种不同的表现形式。数字信号处理中，根据信号的幅值和变量的取值方式不同，可以把信号分为4类：连续时间信号、模拟信号、离散时间信号、数字信号。
设问1：分子多项式与分母多项式做除法时应按z的升幂排列还是降幂排列？为什么？
设问2：函数 的泰勒级数展开式是什么?
（2）留数定理法（围线积分法）
当 是 的有理函数时，可利用留数定理来计算围线积分。
式中 ]表示 在极点 上的留数值， 表示对围线内的所有极点集合 求和。 为 收敛域内逆时针环绕原点的闭合围线。
课时
3
教
学
目
的
通过本节的学习要求学生：
（1）了解数字信号处理的特点、应用和数字信号处理系统的基本组成等；介绍数字信号处理的应用，激发学生学习兴趣；
（2）了解序列的表示方法及常用序列、序列周期性概念；
（3）掌握分析数字信号的数学工具——序列Z变换及其收敛域。
教学
重点
及
突出
方法
重点：序列周期性、序列Z变换及其收敛域；
设问：当 的内部有高阶极点而 的外部无高阶极点时如何应用留数定理？
（3）部分分式展开法
假设 是 的多项式之比
的分母可以写成因式连乘的形式，如果 ，且除一阶极点外，在 处还有s阶极点， 可展成
教
学
过
程
其中，系数 、 可根据留数定理求出， 可利用除法得到。
§1.4 z变换的性质和定理
1、线性性质
Z变换是一种线性变换，满足叠加定理，即假设
解：用Z变换法求解差分方程。首先对差分方程两边求双边Z变换，
得
按题意 所以 。
用Z反变换求 ，需要考虑 的收敛域，因为 有两个极点， ， 而本例给出的条件为 所以，收敛域为 ，则， 为右序列，即
设问1： 当其收敛域分别为 和 问，它所对应的序列分别是什么？
设问2：差分方程度初始条件对差分方程有什么影响？
程
（3）左边序列：其收敛域为某个圆内区域，z=0点为特殊点。
（4）双边序列：其收敛域为一环域，或不收敛。
4、常用序列z变换
序列
变换
收敛域
1
三、小结
本次课主要介绍了数字信号处理的概念、特点及系统的基本组成；序列的概念、常用典型序列及周期性的概念；给出了数学基础z变换的定义式及收敛域的概念。请重点理解收敛域的概念及序列和收敛域之间的关系。
（2）掌握Z变换的性质和定理；
（3）了解差分方程的解法。
教学
重点
及
突出
方法
重点1：部分分式展开法求逆z变换；
重点2：Z变换的性质和定理；
方法：布置学生提前复习前序课程《信号与系统》中的相关内容并结合例子进行重点讲解。
教学
难点
及
突破
方法
难点：留数定理法求逆z变换；
方法：淡化数学公式的推导，给出结论，重点讲解方法，结合图形进行讲解。
四、思考题
1.1；1.2；1.3（2）、（3）；1.4（2）、（4）；1.5（1）、（4）；1.6
教
学
后
记
（1）万事开头难，第一次课一定要能吸引学生，通过举例说明实际数字信号处理在各个方面的应用，引起学生的学习兴趣。
（2）遇到与数学知识有关的内容，提问并让学生回答，来调动他们积极性和的注意力并加深记忆；数学推导尽量讲清楚。
教
学
过
程
教师授课思路、设问及讲解要点
授课思路：
1、z反变换；介绍z反变换3种计算方法的理论基础，结合例子具体介绍计算方法；
2、Z变换的性质和定理：给出z变换的线性性质、双边z变换的移序性质、乘以指数序列、 的微分、复序列的共轭、时间反向，并分别举例说明收敛域的变化。给出初值定理、终值定理、复卷积定理和帕斯维尔(parseval)定理，并举例说明其应用。
3、举例说明差分方程的解法，重点掌握z变换法。
一、课程引入
通过前次课的学习我们已经了解到数字信号处理的数学基础为z变换，和z变换相关的收敛域的概念非常重要，离开了收敛域谈z变换是没有意义的。对于不同的序列，z变换的结果有可能是一样的，但收敛域肯定不同，如