第四章 习题2、平行板电容器（面积为S,间距为d ）中间两层的厚度各为d 1和d 2（d 1+d 2=d ），介电常数各为1ε和2ε的电介质。

试求：（1）电容C ；（2）当金属板上带电密度为0σ±时，两层介质的分界面上的极化电荷密度'σ；（3）极板间电势差U;（4）两层介质中的电位移D ； 解：（1）这个电容器可看成是厚度为d 1和d 2的两个电容器的串联：12210212121d d SC C C C C εεεεε+=+=（2）分界处第一层介质的极化电荷面密度（设与d 1接触的金属板带正电）1111011111εσεεεσ)(E )(P '-=-=-=⋅=分界处第二层介质的极化电荷面密度：21222022211εσεεεσ)(E )(P n P '--=--=-=⋅=所以， 21021211εεσεεσσσ+-=+=)('''若与d 1接触的金属板带负电，则21021211εεσεεσσσ+--=+=)('''（3）2101221202010102211εεσεεεεσεεσ)d d (d d d E d E U +=+=+= （4）01101σεε==E D ，02202σεε==E D4、平行板电容器两极板相距3.Ocm ，其间放有一层02.=ε的介电质，位置与厚度如图所示，已知极板上面电荷密度为21101098m /c .-⨯=σ，略去边缘效应，求: (1)极板间各处的P 、E 和D 的值;(2)极板间各处的电势(设正极板处00=U ); (3)画出E-x ，D-x ，U-x 曲线;解：（1）由高斯定理利用对称性，可给出二极板内：2111098m /c .D e -⨯==σ（各区域均相同），在0与1之间01==P ,r ε，m /V DE 20101⨯==ε在1与2之间210000010454112m /c .D)(E )(P ,r r r -⨯=-=-==εεεεεεε，m /V D E r500==εε 在2与3之间，01==P ,r ε，m /V DE 20101⨯==ε（2）0=A V ：0-1区：,x dx E V xD 100=⋅=⎰1-2区：),x x (dx E V xx 1501-=⋅=⎰)x x x ,.x x )x x (V 2111505010050≤≤+=+-=2-3区：),x x (dx E V xx 2100021-==⎰∆)x x x (,.x ).x (,x x x x x )x x (V 3212221501000050100505010010010050≤≤-=-=+-=-++=题4图6、一平行板电容器两极板相距为d,其间充满了两种介质，介电常数为1ε的介质所占的面积为S 1, 介电常数为2ε的介质所占的面积为S 2。

略去边缘效应，求电容C 。

解：电容C 等效为两个电容器的并联：d)S S (d S d S C C C 2211020210121εεεεεεε+=+=+=9、在半径为R 的金属球之外有一层半径为'R 的均匀电介质层，设电介质的介电常数为ε，金属球带电荷云为Q ，求：(l)介质层内、外的场强分布： (2)介质层内、外的电势分布；(3)金属球的电势。

解：（1）当R r <时，0=E ，当'R r R <<时，2004r Q E E πεεε==当'R r >时，204r Q E πε=（2）介质层内的电势：)R r (Qdr rQ dr rQ d E U 'R R rr ''1144402020-+=+==⎰⎰⎰∞∞επεεπεπεε内 （3）金属球的电势：)RR (Q dr rQ dr rQ r d E U 'R R RR ''1144402020-+=+=⋅=⎰⎰⎰∞∞επεεπεπεε电势 12、球形电容器由半径为1R 的导体球和与它同心的导体球壳构成,壳的内半径为2R ，其间有两层均匀电介质，分界面的半径为r ，介电常数分别为1ε和2ε（见图4-27）。

（1）求电容C ；（2）当内球带电Q -时，求各介质表面上极化电荷的面密度e 'σ。

解：（1）设导体球和导体球壳分别带电Q ±，则它们之间的电势差2102121112220220112444212R R r )]r R (R )R r (R [Q dr rQ dr rQ r d E U R rrR R R 1εεπεεεεπεεπε-+-=+=⋅=⎰⎰⎰所以)r R (R )R r (R R rR U Q C -+-==21112221021124εεεεπε (2)第一层介质的内表面上束缚电荷面密度211121010110114141R Q)(R Q )(E )R (e e πεεεπεεεεχσ-=-==介质分界面上束缚电荷面密度2211222122214441rQ)(r Q )(r Q )()r ('τπτττπτττπττσ-=-+--=第二层介质的外表面上束缚电荷面密度2222212241R )(Q E )R (e 'e πεεχσ---=14、圆柱形电容器是由半径为R 1的导线和与它同轴的导体圆筒构成的，圆筒的内半径为R 2，其间充满介电常数为ε的均匀介质（见图4-29）。

设沿轴线单位长度上导线的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应，求： （1）两极的电势差U ；（2）介质中的电场强度，电位移D ，极化强度P（3）介质表面的极化电荷面密度'e σ；（4）电容C （它是真空时电容0C 的多少倍）解：（1）在介质中取与导体同轴的半径为r ，长为l 的柱面为高斯面S ，则 l rl D d Sλπ==⋅⎰⎰2120022R Rln D E ;r r D πεελεεπλ===1200222121R R ln r d r d E U R RR R πεελπεελ==⋅=⎰⎰ （2）由（1）已得出 ;r rD E ;r r D 0022πεελεεπλ===则r)()(πελεεε2110-=-= （3）介质表面的束缚电荷面密度内表面：21121R )(P n P )R ('ελεσ-=-=⋅= 外表面：2221R )(n P )R ('πελεσ-=⋅=（4） 012012022C R R ln lR Rln l UQ C επεεπεελλ====20、空气的介电强度为m /V .61003⨯，铜的密度为398cm /g .，铜的原子量为mol /g .7563阿伏加德罗常数123100226-⨯=mol .N A ，金属铜里每个铜原子有一个自由电子，每个电子的电量为C .191061-⨯（1） 问半径为1.0cm 的铜球在空气中最多能带多少电？（2） 铜球所带电量最多时，求它所缺少或多出的电子数与自由电子总数之比； （3） 因导体带电时电荷都在外边面上，当铜球所带电达到最多时，求它所缺少或多出的电子数与表面一层铜原子所具有的电子数之比。

[提示：可认为表面层的厚度为31/n -，n 为原子数密度。

]解：（1）设最多能带的电量为Q ，由 24R QE π=得 C .E R Q 82010334-⨯==πε（2）设铜球带电量最多时，它所缺少或多出的电子数为P ，而铜球内自由电子数为N. 则131006-⨯=.PN（3）设表面一层铜原子具有的自由滴字数为K ，表面层的体积32331343434nR )R (r V /ππππ∆≈--=-而原子数密度322231048100226756398-⨯=⨯⨯=cm ....n 将n 代入式①得371092--⨯=cm .V ∆，所以16237104210022675631092⨯=⨯⨯⨯=-....K 铜球带电最多时，它所缺少或多出的电子数111981012106011033⨯=⨯⨯=--...P 故 61078-⨯=.K /P25、一均匀磁化的磁棒，直径为25mm ，长为75mm ，磁矩为120002m A ⋅，求棒侧表面上的面磁化电流密度。

解：由n M i '⨯=，得侧面上m /A .lR mv m M i '821033⨯====π 28、一圆柱形永磁铁，直径10mm ，长100mm ，均匀磁化后磁极化强度J=1.20Wb/m 2，求：（1）它两端的磁荷密度； （2）它的磁矩； （3）其中心的磁场强度H 和磁感强度B 。

此外和B 的方向关系如何？ 解：（1）两端的磁荷密度 221m /Wb .J m ==σ（2）设永磁铁的长度为l,则磁矩： 2057m A .l S P m m m⋅===μσμ方向和磁极化强度J 的方向一致。

（3）在永磁铁内J H B ,JN H H H H oD'+=-=-=000μμ,其中退磁因子按10=dl查表得002028600==H ,.N D 。

代入数据得： m /A .JN H D4010941⨯-=-=μ T .J H B 1810=+=μH 的方向和相反,B 的方向和J 相同。

29、详见本章典型例题33、一环形铁芯横截面的直径为4.0mm ，环的平均半径R=15mm ，环上密绕着200匝线圈（见图4-38），当线圈导线通幽25mA 的电流是，铁芯的磁导率300=μ，求通过铁芯横截面的磁通量Φ。

解：与铁芯同心在铁芯内取一半径为r 的圆为环路L ，方向逆时针，则⎰==⋅LNI rH l d H π2RNIr NI H ππ22≈=RNIH B πμμμμ200== Wb .RNId )d (R NI BS 72020*******-⨯====μμππμμΦ34、详见本章典型例题例4-535、一无穷长圆柱形直导线外包一层磁导率为μ的圆筒形磁介质，导线半径为R t ，磁介质的外半径为R2（见图4-39），导线内有电流I 通过。

（1）求介质内、外的磁场强度和磁感应强度的分布，并画H-r 和B-r 曲线； （2）求介质内、外表面的磁化面电流密度'i ；解：（1）在横截面内分别在导线内外取以导线轴线为中心的圆形回路，应用安培回路定理可得：)(;2121R r R IrH <=π )(;221R r R rIH <<=π)(;22R r rIH >=π 再由H B 0μμ=得 )R r (;R IrB 12102<=πμ )(;2210R r R rIB <<=πμμ)(;220R r rIB >=πμ H-r 和B-r 曲线如图4-40和图4-41所示。