第四章习题解答4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为，求槽内的电位函数。

解 根据题意，电位满足的边界条件为① ② ③根据条件①和②，电位的通解应取为由条件③，有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到槽内的电位分布4.2 两平行无限大导体平面，距离为，其间有一极薄的导体片由到。

上板和薄片保持电位，下板保持零电位，求板间电位的解。

设在薄片平面上，从到，电位线性变化，。

解 应用叠加原理，设板间的电位为0U (,)x y ϕ(0,)(,)0y a y ϕϕ==(,0)0x ϕ=0(,)x b U ϕ=(,)x y ϕ1(,)sinh()sin()n n n y n xx y A a aππϕ∞==∑01sinh()sin()n n n b n x U A a aππ∞==∑sin()n xaπa x 002sin()d sinh()an U n xA x a n b a aππ==⎰02(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩，01,3,5,41(,)sinh()sin()sinh()n U n y n xx y n n b a a aππϕππ==∑b d y =b y =)(∞<<-∞x 0U 0=y d y =0(0,)y U y d ϕ=(,)x y ϕ=12(,)(,)x y x y ϕϕ+题4.1图yo y bo yd y 题 4.2图其中，为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为）的电位，即；是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：① ②③根据条件①和②，可设的通解为 由条件③有两边同乘以，并从0到对积分，得到 故得到4.3 求在上题的解中，除开一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。

并按定出边缘电容。

解 在导体板（）上，相应于的电荷面密度则导体板上（沿方向单位长）相应的总电荷1(,)x y ϕ0U 10(,)x y U y b ϕ=2(,)x y ϕ22(,0)(,)0x x b ϕϕ==2(,)0()x y x ϕ=→∞002100(0)(0,)(0,)(0,)()U U y y d by y y U U y y d y b db ϕϕϕ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨⎪-≤≤⎪⎩2(,)x y ϕ21(,)sin()e n x bnn n y x y A b ππϕ∞-==∑00100(0)sin()()n n U U y y d n y bA U U b y yd y b db π∞=⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩∑sin()n ybπb y 0002211(1)sin()d ()sin()d dbn d U U y n y n yA y y y b b b b d b b ππ=-+-=⎰⎰022sin()()U b n d n d b ππ(,)x y ϕ=0022121sin()sin()e n x bn U bU n d n y y b d n b b ππππ∞-=+∑0U y b 202U W C ef =0=y 2(,)x y ϕ002200121sin()e n x by n U n d yd n bπεϕπσεπ∞-==∂=-=-∂∑z 2220d 2d q x x σσ∞∞-∞===⎰⎰001022sin()e d n x b n U n d x n d b πεππ∞∞-=-=∑⎰0022141sin()n U b n dd n b εππ∞=-∑相应的电场储能为 其边缘电容为 4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。

解 根据题意，电位满足的边界条件为①②③和②，电位的通解应取为根据条件①由条件③，有 两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到槽内的电位分布为 4.5 一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为的电荷。

求体积内的电位。

20020221211sin()2e n bU n dW q U dnb εππ∞===-∑022210241sin()e f n W b n dC U d n bεππ∞===∑0U (,)x y ϕ(0,)(,)0y a y ϕϕ==(,)0()x y y ϕ→→∞0(,0)x U ϕ=(,)x y ϕ1(,)sin()n n n y a n xx y A e aππϕ∞-==∑01sin()n n n xU A aπ∞==∑sin()n xaπa x 002sin()d an U n x A x a a π==⎰02(1cos )U n n ππ-=04,1,3,5,02,4,6,U n n n π⎧=⎪⎨⎪=⎩，1,3,5,41(,)sin()n y a n U n xx y e n aππϕπ-==∑a b c ()sin()sin()xzy y b acππρ=-ϕ题4.4图解 在体积内，电位满足泊松方程（1）长方体表面上，电位满足边界条件。

由此设电位的通解为代入泊松方程（1），可得由此可得或（2）由式（2），可得故4.6 如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与轴平行的线电荷，其位置为。

求板间的电位函数。

解 由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。

而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度ϕ22222201()sin()sin()x zy y b x y z a cϕϕϕππε∂∂∂++=--∂∂∂S ϕ0Sϕ=ϕ1111(,,)sin()sin()sin()mnp m n p m x n y p zx y z A a b cπππϕε∞∞∞====∑∑∑222111[()()()]mnp m n p m n p A a b cπππ∞∞∞===++⨯∑∑∑sin()sin()sin()m x n y p z a b c πππ=()sin()sin()x zy y b a cππ-0mnp A =(1m ≠1)p ≠222111[()()()]sin()n p n n yA a b c b ππππ∞=++=∑()y y b -2221102[()()()]()sin()d bn n n y A y y b y a b c b b ππππ++=-=⎰34()(cos 1)bn b n ππ-=2381,3,5,()02,4,6,b n n n π⎧-=⎪⎨⎪=⎩2532221,3,5,81(,,)sin()sin()sin()11[()()()]n b x n y zx y z n a b c n a b cπππϕπε∞==-++∑z l q ),0(d (0,)d z l q 0x =0x >0x <1(,)x y ϕ2(,)x y ϕ0x =δl q。

电位的边界条件为①②③由条件①和②，可设电位函数的通解为由条件③，有（1）（2）由式（1），可得（3）将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有（4）由式（3）和（4）解得()()ly q y yσδ=-11(,0)(,)0x x aϕϕ==2(,0)(,)0x x aϕϕ==1(,)0x yϕ→()x→∞2(,)0x yϕ→()x→-∞12(0,)(0,)y yϕϕ=21()()lxqy dx xϕϕδε=∂∂-=--∂∂11(,)sin()nnn x an yx y A eaππϕ∞=-=∑(0)x>21(,)sin()nnn x an yx y B eaππϕ∞==∑(0)x<1sin()nnn yAaπ∞==∑1sin()nnn yBaπ∞=∑1sin()nnn n yAa aππ∞=--∑1sin()nnn n yBa aππ∞=∑()lqy dδε=-n nA B=sin()m yaπ0a yn nA B+2()sin()dalq n yy d yn aπδπε=-=⎰2sin()lq n dn aππε题 4.6图故4.7 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为 零 ，槽中 有一与槽平行的线电荷。

求槽内的电位函数。

解 由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。

而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度，电位的边界条件为① ， ② ③由条件①和②，可设电位函数的通解为由条件③，有（1） 0sin()l n n q n dA B n aππε==1101(,)sin()sin()ln n x a q n d n y x y e n a a πππϕπε∞=-=∑(0)x >2101(,)sin()sin()ln n x a q n d n y x y e n a a πππϕπε∞==∑(0)x <l q ),(00y x z l q 0x x =00x x <<0x x a <<1(,)x y ϕ2(,)x y ϕ0x x =δl q 0()()l y q y y σδ=-1(0,)0y =ϕ2(,)0a y ϕ=11(,0)(,)0x x b =ϕϕ=22(,0)(,)0x x b =ϕϕ=1020(,)(,)x y x y ϕϕ=02100()()lx x q y y x xϕϕδε=∂∂-=--∂∂11(,)sin()sinh()n n n y n xx y A b b ππϕ∞==∑)0(0x x <<2(,)x y ϕ=1sin()sinh[()]n n n y n B a x b bππ∞=-∑)(0a x x <<0011sin()sinh()sin()sinh[()]n nn n n x n y n y n A B a x b b b b ππππ∞∞===-∑∑01sin()cosh()nn n x n n y A b b bπππ∞=-∑b题4.7图（2）由式（1），可得（3）将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有 （4） 由式（3）和（4）解得故若以为界将场空间分割为和两个区域，则可类似地得到01sin()cosh[()]nn n n y n B a x b b bπππ∞=-∑)(00y y q l -δε=00sinh()sinh[()]0n n n x n A B a x b bππ--=sin()m ybπ0b y )](cosh[)cosh(00x a bn B b x n A n n -π+π0002()sin()d b l q n yy y y n bπδπε=-=⎰02sin()l q n y n bππε00021sinh[()]sin()sinh()l n q n y n A a x n a b n b b ππππε=-00021sinh()sin()sinh()l n q n x n y B n a b n b bππππε=101021(,)sinh[()]sinh()ln q n x y a x n n a b b πϕπεπ∞==-∑0sin()sinh()sin()n y n x n y b b bπππ⋅)0(0x x <<021021(,)sinh()sinh()ln q n x x y n n a b πϕπεπ∞==∑0sin()sinh[()]sin()n y n n y a x b b bπππ⋅-)(0a x x <<0y y =00y y <<0y y b <<101021(,)sinh[()]sinh()ln q n x y b y n n b a a πϕπεπ∞==-∑4.8 如题4.8图所示，在均匀电场中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为。