k11 k12 L k1l
b1,b2,L,bl
a1,a2,L,am
k21 M
k22 L M
k2l
M
km1 km2 L kml ml
11
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12 L c1n a11 a12 L a1l b11 b12 L b1n
c21 c22 L MM
cM 2naM 21 aM 22 L
左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； ✓对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的
右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
15
结论：若 C = AB ，那么 矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组 线性表示，A为这一线性表示的系数矩 阵．（A 在左边） 矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组 线性表示，B为这一线性表示的系数矩 阵．（B 在右边）
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
7
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3xx11
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
3
1
4 1
1 2
x1 x2 x3
5 1
3 4 1 5 x11x21x321
则
r1T r2T
M
a11 a21 M
a12 a22 M
L L
a1l a2l
b1T b2T
M M
rmT
am1
am2 L
aml
blT
结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示， A 为这一线性表示的系数矩阵．
14
口诀：左行右列
定理：设A是一个 m×n 矩阵， ✓对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的
10
设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即
b1 k11a1 k21a2 L km1am b2 k12a1 k22a2 L km2am LL bl k1la1 k2la2 L kmlam
线性表示的 系数矩阵
M
b n
0 0
b
2
0
1
0
0
b
b
3
M
b1
0
b2
0
b3
1
L
bn
0
M M M
M
b n
0 0 0
1
1 0 0 L 0
0
1
0
L
0
En
0
0
1
L
0
M M M
M
0 0 0 L 1
l l l b 1 a 1 2 a 2 L m a m
a11 a12 L
a21
a22
L
M M
an1 an2 L
a1m l1
a2m
M
l2
M
b
anm
lm
向量b 能由 向量组 A 线性表示
线性方程组 Ax = b 有解
R(A)R(A,b)
9
定义：设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示． 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量 组等价．
定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am 和向量 b，如果存在一组
实数 l1, l2, …, lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + lmam
则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 的线性表示．
5
1 0 0
例：设
E
e1,e2,e3
0
1
0
0 0 1
方程组有解？
向量
5
1
是 否能用
3 1
,
4线1性,表21示 ？
8
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
x1 a11 a12 L a1mx1
x1a1x2a2Lxm ama1,a2,L,am x M 2 aM 21 aM 22 L
a2m x2 M M
xm an1 an2 Lanmxm
§4.3 向量组的线性相关性
1
向量组及其线性组合
2
定义：n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数 组称为n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量．
✓行向量和列向量总被看作是两个不同的向 量．
✓所讨论的向量在没有指明是行向量还是列 向量时，都当作列向量．
13
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12 L c1n a11 a12 L a1l b11 b12 L b1n
c21 c22 L MM
cM 2naM 21 aM 22 L
a2l b21 b22 L M MM
b2n M
cm 1 cm2 L cm n am 1 am2 L am lbl1 bl2 L bln
e1, e2, e3的 线性组合
2 1 0 0
那么 b
3
2
0
3
1
7
0
2e13e27e3
7 0 0 1
线性组合的系数
一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有
b 1 1 0 0
0
b
2
0
1
0
0
b
b
3
b1
0
b2
0
b3
1
L
bn
0
M M M M
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a1,a2 ,a3 ,a4
b1T
b
T 2
a31 a32 a33 a34
b
T 3
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
4
定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am ， 对于任何一组实数 k1, k2, …, km ，表达式
k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数．
✓本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量则用 aT, bT, aT, bT 表示．
3
定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为
向量组．
✓ 当R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向
量组含有无穷多个向量．
有限向量组
A34
a11 a21
a2l b21 b22 L M MM
b2n M
cm 1 cm2 L cm n am 1 am2 L am lbl1 bl2 L bln
b11 b12 L b1n
则
c1,c2,L,cn
a1,a2,L,al
b21 b22 L M M
b2n M
bl1 bl2 L bln
结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵．