燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
2 y y 2 y dx 2 f x ,t dx T 2 dx t x x T y 2 y y 2 dx dx T x x x x
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简单的连续系统振动演示
3.1
弦的横向振动
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设 有一 根细弦 张紧 于两固定点之间，弦长 为 L 。两固定点连线方 向取为 x 轴，与 x 轴垂直 的 方 向取 为 y 轴 ， 如 图 所示。 弦的单位长度质量为 (x)，在横向分布力 f(x,t)作用下作 横向振动，张力为 T(x,t) ，跨长为 L ，弦 x 处的横向位移 函数为y=y(x,t)。
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◆在研究连续系统的振动时，假设材料是均匀连续的和 各向同性的，并在弹性范围内服从虎克 ( Ｈ ook) 定理， 这些都是建立连续线性系统振动理论的前提。 ◆连续系统的偏微分振动方程只在一些比较简单的特殊 情况下才能求得解析解。例如均匀的弦、杆、轴和梁等 的振动问题。 ◆实际问题往往是复杂的，并不能归结为简单的连续系 统情形，因而常常需要离散化成有限自由度系统进行计 算或利用各种近似方法求解。 ◆实际工程中常用的有限元法是将连续系统离散化的实 用有效方法之一。
◆若把一个连续系统离散为一个有限单元的集合，便成 了离散系统。反之，离散系统的极限情况就是连续系统。 离散系统是连续系统的近似描述，这也说明连续系统具 有无限多的自由度。
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◆离散系统和连续系统具有相同的动力特性。连续系统的振动理 论在概念方面严格地与离散系统相似；分析计算的过程也相似： (1)建立系统运动微分方程 离散系统:常微分方程组; 连续系统:偏微分方程组。 (2)求固有频率、振型、正则振型 离散系统:根据特征方程求固有频率、确定振型向量；根据正交性 确定正则振型向量。 连续系统:根据边界条件求固有频率、确定振型函数；根据正交性 确定正则振型函数。 (3)求正则坐标下的响应 离散系统:正则坐标数为系统自由度数。 连续系统:正则坐标数为无限个。 (4)求原广义坐标下的响应
式中，不计 dx 的二次项， 两边同时除 以 dx ，整理 得
2 y 2 y T y 2 f x ,t T 2 t x x x
式中
2 y T y y T 2 T x x x x x
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(0 x L)
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★假设：弦单位长度质量(x)==常数；弦内张力T可视 为常量；横向位移y(x,t)为小量。 2 y y 2 T f x, t ★弦横向振动数学模型简化为 t x x y 0, t y L, t 0 2 y 2 y 2 T 2 f x, t (0 x L) x t y 0, t y L, t 0 ★如果f(x,t)=0，则弦的 自由振动微分方程为
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取 微 段 弦 线 单 元 体 dx 。 假设弦作微小横向振动， 则由牛顿定律得
2 y dx 2 f x, t dx t T T dx sin dx T sin x x
连续系统具有无限多个自由度。

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◆在数学上，离散系统的运动方程为方程数目与自由度
数目相等的二阶常微分方程组；
◆连续系统需要用时间和坐标的函数来描述它的运动状
态，因此连续系统运动方程是偏微分方程。
弦的横向振动偏微分方程
2 y y 2 T f x, t (0 x L) t x x 式中： =(x)，T=T(x,t)，y=y(x,t)。
★弦横向振动的边界条件：两端处位移为零，即
y0, t yL, t 0
★弦横向振动的数学模型 2 y y 2 T f x, t x x t y 0, t y L, t 0 ★上式为偏微分方程的边界值问题。
y sin tan 在微振动条件下，有 x 2 y y 2 y dx 2 f x ,t dx T 2 dx t x x T y 2 y y 2 dx dx T x x x x
第 3章
连续系统的振动
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◆离散系统是由分离的质量、弹簧和阻尼元件所构成
◆实际振动系统一般具有分布的质量、弹性和阻尼等物
理参数，因而称为连续系统(或分布参数系统)。
◆离散系统具有有限个自由度；