缺点: 逼近根的速度慢一些.
(n =1, 2,L )
优点: 避 每 计 f ′(xn−1)， 因而节省计算量. 免 次 算
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(2) 割线法
y
为避免求导运算 , 用割线代替切线, x2 x3 f (xn−1) − f (xn−2 ) 例如用差商 代替 o x0 ξ x1 x xn−1 − xn−2
作业
(习题3-8*)
P180 1 ; 3
思考与练习
比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点 .
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例2. 用切线法求方程 x3 − 2x2 − 4x − 7 = 0的近似解, 使 误差不超过 0.01 . 解: 设 f (x) = x − 2x − 4x − 7. 由草图可见方程有唯一的正实根 ξ ,且
3 2
y
o
34 x
f (3) = −10, f (4) = 9
1. 求隔根区间的一般方法 (1) 作图法
y = f (x)
•由y = f (x)的 图 计 根 间; 草 估 隔 区 •将 f (x) = 0转 为 价 程 化 等 方 ϕ(x) =ψ(x)
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o a ξ b x
y
y =ϕ(x) y =ψ (x)
由y = ϕ(x), y =ψ (x)的 图 计 根 间 . 草 估 隔 区
迭代收敛 , 1.32472 为计算精度范围内的所求根 .
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迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关. 可以证明 下述定理:
区 满 定理. 程 定理 方 x = ϕ(x) 在 间[a, b]上 足:
1 x = ϕ(x)连 ， a ≤ ϕ(x) ≤ b ） 续且
2 ϕ′(x) 存 ， ϕ′(x) ≤ L <1 ） 在且
1 方 x = ϕ(x) 在[a, b] 上 唯 解ξ， ） 程 有 一
2 x0 ∈[a, b] ） n→∞ xn = ϕ(xn−1) ξ →
(证明略)
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内容小结
1. 隔根方法 作图法 二分法 二分法 牛顿切线法 2. 求近似根的方法 简化牛顿法 割线法 一般迭代法 ……
故该方程只有一个实根 ξ , [0, 1] 为 一 隔 区 , 欲使 其 个 根 间
解: 设 f (x) = x +1.1x + 0.9x −1.4,则f (x) ∈C(−∞, + ∞)
3 2
<10−3 ξn+1 −ξ ≤ n+1 (1− 0)
1
必需 2n+1 >1000, 即 n > log21000−1 ≈ 8.96 可见只要对分区间9次 ,即可得满足要求的实根近似值 ξ10
故 x0 = 4, 得 取 f (4) 9 x1 = 4 − = 4− = 3.68 f ′(4) 28
f (x1) 1.03 = = 0.09 而 x1 −ξ ≤ 11 m 故 x1 精 不 ， 度 够 再求
y
o
34 x
f (3.68) 1.03 = 3.63 x2 = 3.68− = 3.68− f ′(3.68) 21.9 f (x2 ) 0.042 = x2 −ξ ≤ < 0.004 < 0.01 11 m 因此得满足精度要求的近似解 ξ ≈ 3.63
o
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a ξ b x
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例 , 方 x3 − x −1= 0 可转化为 如 程 x3 = x +1 由图可见只有一个实根 ξ ∈(1, 1.5),
y
(1, 1.5)即 其 根 间. 为 隔 区
(2) 逐步收索法 搜索, 若
y = x +1 o 1ξ 2 x
y = x3
从 间[a, b]的 端 出 , 以定步长 h 一步步向右 区 左 点 发
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牛顿法的变形: 牛顿法的变形 (1) 简化牛顿法 若用一常数代替 f ′(xn−1), 即用平行 线代替切线, 则得简化牛顿迭代公式.
y
a ξ o
bx
例 用f ′(x0 ) 代 f ′(xn−1), 得 如 替
f (xn−1) xn = xn−1 − f ′(x0 )
如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 : f (xn−1) (n =1, 2,L ) xn = xn−1 − f ′(xn−1) 称为牛顿迭代公式 牛顿迭代公式
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牛顿法的误差估计: 牛顿法的误差估计 由微分中值定理得
y
a ξ o
x2 x1 x0 x b
f (xn ) − f (ξ ) = f ′(η)(xn −ξ)
第八节 方程的近似解
求 程 f (x) = 0的 根 方 实
两种情形 本节内容:
第三章 三
可求精确根 (有时计算很繁) 无法求精确根 求近似根
一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 三、一般迭代法 (补充)
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一、根的隔离与二分法
若 程 f (x) = 0在[a,b]内 有 个 ， 称[a,b]为 方 只 一 根则 其 根 间 隔 区 . f (x) ∈C[a,b], f (a) f (b) < 0, [a,b] 为 根 间 隔 区 且 f (x)在 a,b） 严 单 （ 内 格 调 y
f (a + jh) f (a + ( j +1)h) < 0 ( j = 0,1,L a + ( j +1)h ≤ b) ;
则 间[a + jh，+ ( j +1)h]内 有 . 区 a 必 根
搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h < 0 .
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2. 二分法
设 f (x) ∈C[a,b] ，f (a) f (b) < 0， 方 f (x) = 0只 且 程 有
f ′(xn−1), 从而得迭代公式:
f (xn−1) xn = xn−1 − (xn−1 − xn−2 ) (n = 2,3,L ) f (xn−1) − f (xn−2 )
(双点割线法)
特点: 特点 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法. 为 说明: 说明 若将上式中xn−2 换 x0 ,则为单点割线法, 逼近 根的速度与简化牛顿法相当.
一 根ξ ∈(a, b)，取中点 ξ1 = a+b， 个 2
a ξ1 b 若 f (ξ1) = 0， ξ1 即 所 根 ξ . 则 为 求 a1 a1 b b 1 1 则 若 f (a) f (ξ1) < 0， 根ξ ∈(a, ξ1),令a1 = a, b = ξ1 ; 1
否 ξ ∈(ξ1 , b),令a1 = ξ1 , b = b , 则 1 对新的隔根区间[ a1 , b ]重复以上步骤, 反复进行,得 1
f (xn ) Q f (ξ) = 0, ∴xn −ξ = f ′(η)
f (xn−1) xn = xn−1 − f ′(xn−1)
f (xn ) 记m = min f ′(x) > 0, 则得 xn −ξ ≤ [a,b] m
说明: 说明 用牛顿法时, 若过纵坐标与 f ′′(x)异号的端点作
. 切线 , 则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在 [a, b]内
y
a ξ
(x0 , f (x0 )), 在此点作切线 , 其方程为 o x2 x1 x0 x b y − f (x0 ) = f ′(x0 )(x − x0 ) f (x0 ) 令 y = 0 得它与 x 轴的交点 (x1 , 0),其中 x1 = x0 − f ′(x0 ) 再在点(x1 , f (x1))作切线 , 可得近似根 x2.
有如下四种情况: y y y a a b o x o bx oa bx f ′ >0 f ′ >0 f ′ <0 f ′′ < 0 f ′′ > 0 f ′′ > 0
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f ′ <0 f ′′ < 0
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牛顿切线法的基本思想: 用切线近似代替曲线弧求方 程的近似根 . 记纵坐标与 f ′′(x) 同号的端点为
初值 .
若lim xn 存 称 代 敛, 否则称为发散 . 在 迭 收
n→∞
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例3. 用迭代法求方程 x3 − x −1 = 0在[1, 2]内 实 . 的 根 解法1 解法 将方程变形为 x = x3 −1, 迭代格式为
3 xn = xn−1 −1, 取x0 =1.5
n 0 xn 1.5
1 2 3 L 2.375 12.396 1903.779 L
xn = 3 xn−1 +1, 取x0 =1.5
发散 !
解法2 解法 将方程变形为 x = 3 x +1, 迭代格式为
n 0 7 8 1 2 L xn 1.5 1.35721 1.33086 L 1.32472 1.32472
1
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例1. 用二分法求方程 x +1.1x + 0.9x −1.4 = 0 的近似
3 2
要使误差不超过 10−3, 至少应对分区间多少次 ? 实根时,
(Q∆ = −5.67 < 0) ′(x) = 3x2 + 2.2x + 0.9 > 0 Qf ∴f (x) 在(−∞, + ∞) 单 递 , 又 调 增 f (0) = −1.4 < 0, f (1) =1.6 > 0