初二数学经典题型练习1．已知：如图， P 是正方形ABCD内点，∠ PAD＝∠ PDA＝ 150．求证：△ PBC是正三角形．证明如下。

首先， PA=PD，∠ PAD=∠ PDA=（180° - 150°）÷ 2=15°，∠ PAB=90° - 15°=75°。

A D 在正方形 ABCD之外以 AD为底边作正三角形ADQ，连接 PQ，则P∠P DQ=60°+15°=75°，同样∠ PAQ=75°，又 AQ=DQ,，PA=PD，所以△ PAQ≌△ PDQ，那么∠ PQA=∠PQD=60°÷ 2=30°，在△PQA中，B C ∠A PQ=180° - 30° - 75°=75°=∠ PAQ=∠ PAB，于是 PQ=AQ=AB，显然△ PAQ≌△ PAB，得∠ PBA=∠PQA=30°，PB=PQ=AB=BC，∠ PBC=90° - 30°=60°，所以△PBC是正三角形。

2.已知：如图，在四边形 ABCD中， AD＝ BC，M、N 分别是 AB、CD的中点， AD、 BC的延长线交 MN于 E、F．求证：∠ DEN＝∠ F．FE证明 : 连接 AC,并取 AC的中点 G,连接 GF,GM.又点 N为 CD的中点 , 则 GN=AD/2;GN∥ AD,∠GNM=∠ DEM;(1)同理 :GM=BC/2;GM∥ BC,∠ GMN=∠ CFN;(2)又AD=BC,则 :GN=GM,∠ GNM=∠ GMN故. : ∠ DEM=∠ CFN.N CDA BM3、如图，分别以△ABC的 AC和 BC为一边，在△ ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点 P 是 EF的中点．求证：点P 到边 AB的距离等于AB的一半．证明：分别过E、 C、 F 作直线 AB 的垂线，垂足分别为M、 O、 N，在梯形 MEFN中， WE平行 NF因为 P为 EF 中点， PQ平行于两底所以 PQ为梯形 MEFN中位线，D所以 PQ＝（ ME＋ NF） /2GC又因为，角 0CB＋角 OBC＝90°＝角 NBF＋角 CBO E所以角 OCB=角 NBFP F 而角 C0B＝角 Rt＝角 BNFAQBCB=BF所以△ OCB全等于△ NBF△MEA全等于△OAC（同理）所以 EM＝ AO， 0B＝ NF所以 PQ=AB/2.4、设 P 是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠ PDA．求证：∠ PAB＝∠ PCB．过点 P作 DA的平行线，过点 A 作 DP的平行线，两者相交于点E；连接 BE因为 DP2a3a个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高DA A D度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。

向容器中注满水的全过程共用时间P t 分。

求两P根水管各自注水的速度。

解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。

B C 由题意得：v v t B C2x 8x解之得： x 5v 8t经检验得：5vx是原方程解。

8t5v，大口径水管速度为5v 。

∴小口径水管速度为8t2t7．如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M- 1），且P -1，－ 2）为双曲（－ 2，（线上的一点， Q为坐标平面上一动点， PA垂直于 x 轴， QB垂直于 y 轴，垂足分别是A、B．（ 1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（ 2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△ OBQ与△ OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（ 3）如图 12，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值．yyQB QBAOAOxxMMCPP图图1 解：（ 1）设正比例函数解析式为y kx ，将点 （ 2 ， 1 ）坐标代入得Mk = ，所以正比例函数解1 x2析式为 y =2同样可得，反比例函数解析式为y =2x（2）当点Q 在直线 上运动时，DO1设点 Q 的坐标为 Q (m ， m) ，2于是 S △ OBQ = 1OB? BQ1创1mm = 1m 2 ，22241= 1 ，而S △OAP = (- 1)? ( 2)2所以有， 1m 2 = 1 ，解得 m24所以点 Q 的坐标为 Q 1(2 ，1) 和 Q 2 (- 2，- 1)（3）因为四边形是平行四边形，所以 ＝ ， ＝ ，OPCQOP CQ OQ PC而点 P （ 1 ， 2 ）是定点，所以 OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求的最小值．OQ因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为2Q( n ， ) ，n由勾股定理可得 OQ 2 = n 2+ 42 = (n - 2)2+ 4 ，22 n n所以当 ( n - )2 = 0 即 n - = 0 时， OQ 2有最小值 4，n n又因为 OQ 为正值，所以 OQ 与 OQ 2 同时取得最小值，所以 OQ有最小值2．由勾股定理得OP＝ 5 ，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是8.如图， P是边长为1的正方形 ABCD对角线 AC上一动点（ P 与 A、 C不重合），点 E 在射线 BC上，且PE=PB.（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x, △PBE的面积为y.①求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值.解：（ 1）证法一：① ∵四边形 ABCD是正方形， AC为对角线，∴BC=DC,∠ BCP=∠ DCP=45°.∵PC=PC，∴ △ PBC≌△ PDC（SAS）.A D∴PB= PD，∠PBC=∠ PDC.又∵=，P PB PE1H∴ PE=PD.B2 CE②（ i ）当点E在线段BC上( E与B、C不重合 ) 时，∵PB=PE，∴ ∠ PBE=∠ PEB，∴ ∠ PEB=∠ PDC，∴ ∠ PEB+∠ PEC=∠ PDC+∠ PEC=180°，∴ ∠ DPE=360°-(∠ BCD+∠ PDC+∠ PEC)=90°，∴ PE⊥ PD.）（ ii ）当点E与点C重合时，点P 恰好在 AC中点处，此时，PE⊥ PD.（ iii）当点E在BC的延长线上时，如图.∵ ∠ PEC =∠ PDC ，∠ 1=∠2，∴ ∠ DPE =∠ DCE =90°，∴⊥ .PE PD综合（ i ）（ ii ）（ iii ） , PE ⊥ PD .（ 2）① 过点P 作 ⊥ ，垂足为 ，则 = .PF BC F BF FE∵ AP =x ， AC = 2 ，∴ PC = 2 - x ， PF =FC =2( 2 x) 12x .22BF =FE =1- FC =1-( 12 x )=2x .2 2∴△ PBE =· =2( 12 x )1x 22 x .SBFPFx2 222即 y1 x2 2 x (0＜x ＜ 2 ).2 2② y1 x2 2 x 1( x2 )2 1 .2222 4∵ a1＜ 0，2∴ 当 x2 时， y 最大值 1 .24A DPB F E C（ 1）证法二：① 过点 P 作 GF ∥ AB ，分别交 AD 、 BC 于 G 、F . 如图所示 . ∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ 四边形 ABFG 和四边形 GFCD 都是矩形，AGD△ AGP 和△ PFC 都是等腰直角三角形 .32P∴ GD=FCFP ， GP=AGBF ，∠ PGD =∠ PFE =90° .1又∵ PB =PE ，BF EC∴ BF =FE ， ∴ GP =FE ，∴ △ EFP ≌△ PGD （ SAS ） .∴ PE =PD .② ∴ ∠ 1=∠ 2.∴ ∠ 1+∠ 3=∠ 2+∠ 3=90° .∴ ∠ DPE =90° .∴ PE ⊥ PD .（ 2）①∵ AP =x ，∴ BF =PG =2x ， PF =1-2x .22∴△ PBE =· = 2x ( 1 2 x )1 x2 2 x .SBFPF22 22即 y1 x2 2 x(0＜x ＜ 2 ).2 2② y1 x2 2 x 1( x2 )2 1 .2222 4∵ a1＜ 0，2∴ 当 x2时， y 最大值1 .249、如图，直线 y=k 1x+b 与反比例函数 y=k2x 的图象交于 A （ 1， 6）， B （a ， 3）两点．（ 1）求 k 1、 k 2 的值．（ 2）直接写出 k1x+b-k2x ＞ 0 时 x 的取值范围；（ 3）如图，等腰梯形 OBCD 中， BC ∥OD ，OB=CD ，OD 边在 x 轴上，过点 C 作 CE ⊥ OD 于点 E ，CE 和反比例函数的图象交于点 P ，当梯形 OBCD 的面积为 12 时，请判断 PC 和 PE 的大小关系，并说明理由．10、如图 12，已知直线1x 与双曲线 yky(k 0) 交于A，B两点，且点 A 的横坐标为 4 ．2x（ 1）求k的值；（ 2）若双曲线y k(k 0) 上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；x（ 3）过原点O的另一条直线l交双曲线y k(k0) 于 P， Q 两点（P点在第一象限），若由点xA， B， P， Q 为顶点组成的四边形面积为24 ，求点 P 的坐标．yAO xB图 12。