图7.1两目标最优解的解集
7.3 多目标优化问题的求解方法
7.3.1 评价函数法
评价函数法的主要思想是根据优化问题的特点和决策者的意图，构造一个把m个目标 转化为一个总目标的评价函数。通过对m个目标的“评价”，把求解多目标极小化问题归 结为求解与之相关的单目标极小化问题。
1. 线性加权和法 这是一种最简单也是最基本的评价函数法。它根据各个目标在问题中的重要程度，分别赋 予一个系数，然后相加起来构造评价函数 t 对于一组目标函数F1,F2,…,Ft，分别赋予系数 W1,W2,…,Wt 例7-4 用例7-2来说明线性加权和法的求解过程。 解：由问题可知，钢梁设计问题归结为下面评价函数(约束条件略)
这就是在给定的权系数下问题的最优解。若权系数改变，结果也就随之而变化。 2. 理想点法 理想点法也有很多种，这里介绍其中的极大模理想点法。 基本思想是，首先求出分目标函数 F1,F2,…,Ft各自的极小值 F1* , F2* , Ft* ，然后确定表示各目 标函数逼近其极小值重要程度的权系数 Wi 0 i 1, 2, , t ，将原来的多目标最优化问题转化 min 成下列单目标最优化问题 求解得到的最优解 X x1 , x 2 , x t , 即为原问题的最优解
V ( / 4)(D d ) 2 H 0 0.785( x1 x2 ) 2 (0.35x3 x2 1.5x1 ) 105
2
约束条件 2 [ ]
2d 65 d D 88
4C 8
(C D / d )
强度约束 筒体内径约束 旋绕比约束 变形约束
约束条件
r 2 [( 1 ) 2 (
x 2 x2 2 ) ] min 2 x1 H 0
2 1
0 --弹簧材料的脉动疲劳极限 ； 1 2 --最大、最小交变载荷F1,F2产生的切应力 W ( / 4)d 2 (D)ng 1.925105 x12 x2 x3 重量最轻
例7-1 生产计划问题 某工厂生产 n种产品：1号品、2号品、...、 n号品。 已知： 该厂生产i(i=1，2，….n)号品的生产能力是 ai吨/小时； 生产一吨 i(i=1，2，….n)号品可获利润 ci元； 根据市场预测，下月i号品的最大销售量为bi吨； 工厂下月的开工能力为T小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。 问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少； 工厂获得最大利润； 满足市场对1号品尽可能多地要求。 为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i号品的时间为xi (i=1，2，….n)小时。 根据所给的已知条件，可以把问题中希望追求的三个目标用数量关系描述如下： (1)加班时间 (2)总利润
i 1, 2, , t ，或难以估计目标函数
的上下限时，也可以取下限值为零，上限值为 i Fi ( X 0 )，则称 Fi ( i i ) / 2 i 1, 2, , t 为各目标的容限，各权系数为Wi 1 i 1, 2, , t 。 2
(Fi )
这种取法的原理是，当某个目标函数值变化愈大时，其相应的容限就愈大，权系数就愈小。 这样选取权系数将起到平衡各目标函数量级的作用。
s.t. g u ( X ) 0 hv ( X ) 0
也可以用向量形式表示成
V min F ( X ) F1 ( X ), F2 ( X ),, Ft ( X )
u 1, 2, , m s.t. g u ( X ) 0
上式中，Ps(s=1,2,….L)是优先层次的记号，表 示后面括号中的目标函数属于第s优先层次。 3. 目标规划模型
T
T=208小时
T
解：根据所给数据，该优化问题的数学模型为
V minF1 , F2 , F3 x1 x2 x3 208 , 15x1 14x2 12x3 , 3x1
s.t. g1 ( X ) 240 3x1 0 g 2 ( X ) 250 2 x 2 0 g 3 ( X ) 420 4 x3 0 g 4 ( X ) x1 x 2 x3 208 0
T 其中 F ( X ) F1 ( X ), F （ , , Ft ( X ) 2 X）
F 0 F10 , F20 , , Ft 0


T
符号v--appr表示逼近
7.2 多目标优化数学模型的解
多目标问题的解与单目标问题的解有根本不同的概念。 如图7.1所示的五个解1，2，3，4，5 1---绝对最优解； 2、3---非劣解； 4、5---劣解。 因为能得到象1点这样理想解的情况极少，非劣解就成为有效解了。然而，非劣解往往不 止一个，多目标最优化的解一般需从满足条件的多个非劣解中产生。
l F11 ( X ), , Fl11 ( X ); F12 ( X ),, Fl22 ( X );, F1l ( X ), , FlL (X )
i 1
一号品产量
a1 x1 Y
l1 l 2 l L t
目标规划模型为
V apprF( X ) F 0
s.t. g u ( X ) 0 hv ( X ) 0 u 1, 2, , m v 1, 2, , p n
这是另一类多目标最优化模型。与前面二种 模型不同的是，这类模型并不是考虑对各个 hv ( X ) 0 v 1, 2, , p n 目标进行极小化或极大化，而是希望在约束 2.分层多目标最优化模型 条件的限制下，每一个目标都尽可能地接近 特点是按不同的优先级分层次进行最优化。 于事先给定的各自对应的目标值。 例如上节例1中 例如在上节的例1中 n 第一优先层次——工厂获得最大利润； ( xi T ) T 生产总工时 第二优先层次——工人加班时间尽量地少； i 1 n 第三优先层次——满足市场对一号品的需求。 总利润 ci a i xi Q 一般对于t>1个目标函数
静强度约束
• 7.1.2 多目标最优化数学模型
1. 多目标极小化模型 归纳其共性，可以得到如下数学模型
min F1 ( X ) min F2 ( X ) min Ft ( X )
按其重要性分成如下的L>1个优先层次
1 1 第一优先层—— F1 ( X ), , Fl ( X );
1
2 2 第二优先层—— F1 ( X ),Fl2 ( X );
2 V min ( x1 x2 , x12 x2 )
评价函数为
W F
i 1 i
i
min
设决策者认为成本目标比重量目标重要。因此，给相应的权系数为W1 =0.3 ,W2=0.7, 评价函数为
W F 0.3x x
i 1 i i
2
1 2
2 0.7( x12 x2 )
, 0.7547 )T 用单目标优化算法可以求得最优解为 X ( x1 , x2 )T (1.1511
i 1, 2, , t 2)分别对各分目标函数求最小化得F(X*) ,取各权系数为 Wi 1 F ( X * ) 3) 先把加权因子Wi分成二部分，即 Wi=W1i*W2i，第一项W1i用来反映各项设计指标的重要
程度，可以用方法(1)或(2)来确定；第二项W2i用来调整各分目标，即函数在量级差别上的 影响，并在迭代过程中逐步加以校正，可取
x
i 1 n
n
i
T min
i i
x ---生产总工时
i 1 i
n
a c x
i 1 i
max
(3)
a1 x1 max
约束条件
ai xi bi i 2, ..., n
xi 0
i 1, 2, ..., n
最大销售量限制
Байду номын сангаас
x
i 1
n
i
T
避免工厂开工不足
生产时间非负 例7-2 钢梁的设计问题 把一根圆钢加 例7-3 圆柱螺旋弹簧的优化设计 设计这种弹簧 工成矩型截面的梁。为了使钢梁满足 时除选择材料及规定热处理要求外，主要根据最 一定的规格、应力及强度条件，要求 大工作载荷、最大变形以及结构要求等来确定弹 其高度不超过H，截面惯性矩不小于W， 簧的钢丝直径d, 弹簧中径D以及工作圈数n。 T T 横截面的高度介于其宽度及4倍宽度的 X d D n x1 x2 x3 解 设计变量 之间。问如何确定钢梁的尺寸，可使 0.75 1 疲劳安全系数 它 的 重 量 最 轻 ， 并 且 成 本 最 低 。 目标函数 S 0 设 所设计的梁横截面的高为x1,宽为x2 目标为 (1) 重量最轻 x1 x2 min (2)圆钢截面最小(成本最低)


T
s.t.
g u ( X ) 0 u 1, 2, , m hv ( X ) 0 v 1, 2, , p n i 1, 2, , t Wi ( Fi Fi * ) ,
0
例7-5 用极大模理想点法求解例7-1的生产计划问题。设该厂共生产3种产品，各项数据为 a1=3吨/小时, a2=2吨/小时, a3=4吨/小时; c1=5万元, c2=7万元, c3=3万元; b1=240吨 , b2=250吨, b3=420吨;
0.8( 15x1 14x 2 12x3 4210 ) 0.1 3x1 240
0
求解这个单目标的线性规划问题，得
x , x , x ,
1 2 3
T
80, 125, 105, 10.2
T
3. 权系数的确定 权系数的选择至关重要 1)如果已知各目标函数值的变化范围为 i Fi ( X ) i
将原多目标问题转换成单目标问题处理 V min
s.t. g1 ( X ) 240 3x1 0 g 2 ( X ) 250 2 x 2 0 g 3 ( X ) 420 4 x3 0 g 4 ( X ) x1 x 2 x3 208 0