复变函数与实变函数的联系与区别
华中师范大学物理学院 2008213421 路丽珍
摘要： 数的扩展：正数→负数→实数→…在实数范围内：方程当 042<-=∆ac b 时，没有实根。

→扩大数域，引进复数，由实变函数学习到复变函数，它们有着紧密的联系，也有着巨大的区别。

关键词： 复变函数 实变函数 联系与区别
正文：
在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间，我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。

由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→…在实数范围内：方程当 042<-=∆ac b 时，没有实根。

→扩大数域，引进复数”。

这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，他们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。

下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。

1. 自变量的不同
以实数作为自变量的函数就做实变函数；即实数→实变量→实变函数。

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数；即复数→复变量→复变函数。

2. 实变函数与复变函数的联系区别
（1）因为z=x+yi,所以复变函数y=f(z)的实部与虚部都是x,y 的函数，即w= f(z)=u(x,y)+iv(x,y),由此可以看成：一个复变函数是两个实变函数的有序组合。

这样，实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植
到复变函数中。

然而同时，由于复变函数的虚部，实变函数的许多定义、公式，定理也不再是用于复变函数。

（2）对于复变函数与实变函数，我们分别学习了两者的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用。

然而同时，由于复变函数的虚部，所要求的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用的定义也不尽相同。