第n次谐波分量的复数振幅
非周期函数的频谱分析
Non periodic Function
• 将周期函数的周期扩展到无穷，谱线成为连续谱 • 频谱密度函数
lim
F ()
T / 2 f (t )e jnt dt
T T / 2
F() f (t)e jtdt F() R() jI()
傅立叶变换与逆变换
3x3, 5x5 ……
• The values of mask coefficients determine the nature of the process.
空域滤波的图像平滑与锐化
• Image Sharpening（尖锐化）
• Image Smoothing（平滑）
平滑：
锐化：
邻域平均法 选择平均 中值滤波 *多图像滤波
• 用频谱密度函数表示时间函数
f (t) 1 F ( )e jt d
2
正变换与逆变换
2u
F (u) f (t)e j2ut dt
f (t) F (u)e j2ut du
一维傅里叶变换
• 极坐标Polar coordinate形式：
F (u) | F (u) | e j (u) • 幅度谱：
傅立叶变换与频域内的滤波处
• 频域
理
• 频域表示的意义
傅立叶变换（FT）
傅里叶的重要贡献： 1、任意周期函数都可以写成不同频率
的正弦/余弦和的形式——傅里叶级数。 2、任意非周期函数都可以写成正弦/余
弦乘以加权函数的积分——傅里叶变换。 傅里叶使整个工业和学术界空前繁荣。
Flourier 级数展开式: (周期函数 的频谱分析)
| F (u) | [R2 (u) I 2 (u)]1/ 2
• 相位谱：
(u) arctan[ I (u) ]
• 功率谱
R(u)
P(u) | F (u) |2 R2 (u) I 2 (u)
常用函数的 一维傅里叶
变换
单位冲激函数<->F(ω)=1
一维傅立叶变换的性质
• 线性… • 奇偶虚实性 • 频移特性 • 变换对称特性
代数运算 伪彩 边缘检测
Algorithm of Space Filter
Smoothing Filters
E' 1 (A 2B C 2D 4E 2F G 2H J) 16
Contour Filters E' 2 [(A B C) (G H J)]2 [(A D G) (G F J)]2
奇偶虚实性
f (t) F () f *(t) F *() f *(t) F *()
f(t)是实函数 f(t)是实偶函数，X(ω)=0 f(t)是实奇函数，R(ω)=0
f(t)是虚函数
R() R() X () X ()
R() R() X () X ()
|F(ω)|一直是偶函数
频移特性
Sharpen Filter E' 1 (2A B 2C D 6E F 2G H 2J ) 2
Smoothing Filters
Preview window
Filter description
Kernel size
锐化Sharpening
Examples
图像的边缘检测
Edge and Contour Detection
2T
2 T/2
T
a0 T
0
f (t)dt [ T0
dt dt] 0 T /2
2
an T
T 0
f
(t) cosn1dt
2[ T
T /2
0 cosn1dt
T
T /2 cosn1dt] 0
bn
2 T
T 0
f
(t )sin
n1dt
T
T /2 sin n1dt]
f (t) F()
f (t)e j0t F ( 0 )
cos0t
1 2
(e j0t
e j0t )
f
(t)
cos0t
1 2
(F
(
0
)
F
(
0
))
变换对称特性
2
Tn1
[ cos n1t
|T0
/2
cos n1t
|TT
/2]
2
n
[1
cos n
]
=
4 n 奇数
n
0 n 偶数
• 方波图例
Example
f
(t)
4
(sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51t
...)
说明
• 系数a0：直流分量 • a1 cos1t b1 sin 1t 基波分量
• 其余为谐波分量 • 指数的级数展开形式
-2 -2 -2 -2 +9 -2 -2 -2 -2 sharpening filter
• Larger neighborhoods have more flexibility
利用事先定义好的在 （x,y）的邻域的f的 函数值来确定g在 (x,y)的值。
• Masks processing
决定邻域的模板通常 是二维阵列：
f
(t)
1 2
a0
k 0
(ak
cos k0t
bk
sin
k 0t )
1
a0 T
T
2 f ( )d
T 2
k=0,1,2,3…
2
ak
T
T
2 T 2
f
( ) c osk0d
bk
2 T
T
T 2 f ( ) sin k0d 2
Example
• 傅立叶级数展开的示例
f(t)= 1 0 < t < T/2 -1 T/2 < t < T
e j cos( ) j sin( )
• 用于周期信号的分析
• 周期增大，谱线间隔减小
指数傅立叶级数
f
(t)
a0 2
n1
An
c os (n1t
n )
a0 2
1 2
n1
A (e j(n1tn ) n
e ) j(n1tn )
1 2
A e j(n1t n ) n
n
1 2
Ane
n
jn1t
数字图像II
图像平滑与锐化
图像滤波
• 空域滤波 • 频域滤波
空域滤波Spatial
Filters
Examples of filter kernels:
-3 -3 -3
-3 0 +3
0 00
-3 0 +3
+3 +3 +3
-3 0 +3
horizontal
vertical
edge detect
edge detect
物体的边缘是由灰度不连续所反映的。经典的边缘提取方法是考察 图像的每个像素在某个领域内的变化，利用边缘邻近一阶或二阶方向导 数变化规律，用简单的方法检测边缘。这种方法称为边缘检测算子。
• Roberts算子 • Sobel算子 • Prewitt算子 • Krisch算子 • 高斯—拉普拉斯算子
Sobel 边缘检测