继电保护算法分析1 引言根据继电保护的原理可知，微机保护系统的核心容即是如何采用适当而有效的保护算法提取出表征电气设备故障的信号特征分量。

图1是目前在微机保护常采用的提取故障信号特征量的信号处理过程。

从图中可以看出，自故障信号输入至A/D 输出的诸环节由硬件实现，在此过程中故障信号经过了预处理（如由ALF 滤除信号中高于5次的谐波分量），然后通过保护算法从中提取出故障的特征分量（如基波分量）。

很明显，只有准确且可靠地提取出故障的特征量，才能通过故障判据判断出是否发生了故障，是何种性质的故障，进而输出相应的保护动作。

因此计算精度是正确作出保护反应的重要条件。

就硬件部分而言，为了减少量化误差，通常采用12位甚至16位A/D 转换芯片；而就保护算法而言，提高精度除了与算法本身的性能有关，还与采样频率、数据窗长度和运算字长有关。

目前针对故障特征的提取有许多不同类型的保护算法，本课题研究的是电动机和变压器的保护，根据相应的保护原理，主要涉及基于正弦量的算法和基于序分量过滤器的算法。

本章将对其中几种较典型的算法作简要介绍和分析。

2 基于正弦量的特征提取算法分析故障图1 故障信号特征的提取过程Fig. 1 Character extraction process of fault signal2.1 两点乘积算法设被采样信号为纯正弦量，即假设信号中的直流分量和高次谐波分量均已被理想带通滤波器滤除。

这时电流和电压可分别表示为：)sin(20i t I i αω+=和 )sin(20u t U u αω+= 表示成离散形式为：)sin(2)(0i S S k T k I kT i i αω+== （1） )sin(2)(0u S S k T k U kT u u αω+== （2）式中，ω为角频率，I 、U 为电流和电压的有效值，S T 为采样频率，0i α和0u α为电流和电压的初相角。

设1i 和2i 分别为两个相隔2π的采样点1n 和2n 处的采样值（图2）,即： 212πωω=-S S T n T n由式（1）：10111sin 2)sin(2)(i i S S I T n I T n i i ααω=+== （3）)sin(2)(0222i S S T n I T n i i αω+==101cos 2)2sin(2i i S I T n I ααπω=++= （4）式中011i S i T n αωα+=为第n 1个采样时刻电流的相位角。

kT S图2 两点乘积算法的采样Fig. 2 Sampling of two-point product algorithm将式（3）和式（4）平方后相加可得：222122i i I +=由此可求得电流的有效值为：22221i i I +=将式（3）和式（4）相除可求得S T n 1时刻的电流相位为：211i i arctgi =α 同理，由式（2）可得：11sin 2u U u α= （5） 12cos 2u U u α= （6）类似于电流的情况，由式（5）和式（6）可得：221u u U +=211u u arctgu =α 式（3）～（6）表明，若输入量为纯正弦函数，只要得到任意两个相隔2π的瞬时值，就可以计算出其有效值和相位。

为了避免涉及三角函数，在计算测量阻抗时可采用复数法，即把电流和电压表示为：1111sin cos sin cos i i i i jU U U jI I I αααα+=+=利用式（3）～（6）得：1212ji i ju u I U Z ++== （7） 由式（7）可求得测量阻抗的电阻分量和电抗分量为：22212211i i u i u i R ++=（8） 22212112i i u i u i X +-=（9） 式（8）和式（9）中用到了两个采样点的乘积，故称为两点乘积算法。

该算法使用了两个相隔2π的采样值，即算法本身所需的数据窗长度为41周期，在工频场合该长度为5mS ，这即是算法的响应时间。

文献表明，用正弦量任何两点相邻的采样值都可以计算出有效值和相位角，亦即理论上两点乘积算法本身所需的数据窗可以是很短的一个采样间隔，但事实上由于此时的算法公式将比前者复杂得多，实际应用中由于实现算法所需的运算时间加长反而抵消了采样间隔的缩短。

此外，由于算法所针对的是纯正弦量，实际的故障信号很难满足这一要求，可见算法的精度严重依赖于信号波形的正弦度。

因此，尽管算法本身没有理论误差，但为了使信号尽可能接近于正弦，必须通过数字滤波的方法先滤除信号中的高频分量，这将额外地增加很大的运算工作量，使实际的算法响应时间大大超过理论值。

2.2 导数算法设电流和电压分别为：)sin(2)sin(200u i t U u t I i αωαω+=+=则1t 时刻的电流和电压分别为：1011sin 2)sin(2i i I t I i ααω=+= （10） 1011sin 2)sin(2u u U t U u ααω=+= （11）式中011i i t αωα+=，011u u t αωα+=。

而1t 时刻电流和电压的导数分别为：11cos 2i I i αω=' 或 11cos 2i I i αω=' （12） 11cos 2u U u αω=' 或 11cos 2u U u αω=' （13）由式（10）～（13）可得：基波有效值 212121⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=ωi i I （14） 212121⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=ωu u U （15）阻抗分量 21211111⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'⋅'+=ωωωi i u i i u R （16） 21211111⎪⎭⎫⎝⎛'+'-'=ωωωi i u i i u X （17） 可见，只要获得了电流电压在某一时刻的采样值和在该时刻的导数，就可以计算出相应的电流电压基波有效值、相位和阻抗。

在微机的离散系统中，无法通过采样直接得到该点的导数，为此，可取t 1为两个相邻采样时刻k 和k +1的中间时刻，用差分近似表示该时刻的导数（图3）。

即：)(111+-='k k Si i T i （18） )(111+-='k k Su u T u （19） 这实际上是用直线ab 的斜率近似表示直线mn 的斜率，当S T 足够小时，这种近似将会有足够的精度。

从图3可以看到，t 1并不在采样点上，为了使采样值与导数尽可能在同一点上，对相邻两点采样值求平均值：)(2111++=k k i i i （20）)(2111++=k k u u u （21）显然，当S T 足够小时，t 1与导数点将足够接近。

虽然与两点乘积算法相似，导数算法也使用了两个相邻的采样值，但其采样间隔很小，因此算法的响应速度很快。

由于算法在求导数时是用差分近似微分，即算法的精度与采样频率有关，所以采样频率越高则精度越高。

此外，由于算法中采用了差分方法，对信号中的直流分量具有一定的滤除能力，但对高次谐波则具有放大作用，因此类似于两点乘积算法，该算法也需要通过数字滤波器滤除高次谐波，因而算法的实际响应速度主要取决于算法本身和数字滤波器的运算时间。

2.3 半周绝对值积分算法半周绝对值积分算法的原理是依据一个正弦量在任意半个周期绝对值积分为一常1 kT S图3 差分近似求导原理Fig, 3 Approximate derivative calculation by difference method数S ，且积分值S 与积分起始点的初相位无关，如图4中两个从不同起始点算起的半周的两部分面积是相等的。

即：t td Idt t I S T t ωωωαωαπααsin 2)sin(22⎰⎰+=+=ωωωωπIt td I22sin 20==⎰（22）由式（22）可求得基波分量的有效值为：S I 22ω=（23）式（23）的离散形式可以用梯形法或矩形法推出。

如采用梯形法，可以设若干个小梯形面积之和为S '（图5），则有：S T i i i i i i S NN ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++='-2222212110 S k kT i i i NN ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑-=1102221（24）式中：0i ，1i ，，2N i 为半周的采样值，N 为一周的采样点数，S T 为采样间隔（周期）。

式（24）是式（22）的近似，其精度与采样频率有关。

当采样频率足够高（S T 足够小）时，误差也可以足够小，即S '与S 足够接近。

i (t )tπ2ππ+αtπ 2πα )(t i图4 半周积分算法原理Fig. 4 Principle of half-cycle integral algorithm半周积分算法需要的数据窗长度为10mS ，较两点乘积算法和导数算法长。

但由于这种算法只有加法运算，算法的工作量很小，可以用低端MCU 实现。

此外，算法本身具有一定的滤除高频分量的能力，因为叠加在基波分量上的高频分量（通常幅度不大）在半周积分中其对称的正负半周互相抵消，剩余的未被抵消部分所占的比重减小，极端情况（正负半周刚好相等）时，可以完全抵消。

但该算法不能滤除直流分量，因此对于一些要求不高的保护场合可以采用该算法，必要时可以在前级配以简单的差分滤波器来滤除直流分量。

2.4 付立叶算法（付氏算法） 2.4.1 付氏算法的基本原理付氏算法的基本思想来自付立叶级数，它假定被采样信号是一个周期时间函数，除了基波分量，还含有不衰减直流分量和高次谐波分量，可以表示为：t图5 梯形法面积计算原理Fig. 5 Principle of acreage calculation with trapezia method∑∑∞=∞=++=++=1010)cos sin ()sin()(k k k k k k t k b t k a X t X X t x ωωαω （25）式中：0X 为直流分量，k X 为k 次谐波分量的幅值，k α为k 次谐波分量的初相位，ω为基波角频率，k k k X a αcos =为k 次谐波的正弦分量系数，k k k X b αsin =为k 次谐波的余弦分量系数。

由付氏级数原理可求得系数k a 和k b 分别为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎰⎰dt t k t x T b tdtk t x T a Tk Tk 00cos )(2sin )(2ωω 式中T 为x (t )的周期。

由此可计算出各次谐波分量的幅值和初相位。

继电保护常对基波分量感兴趣，此时基波（k =1）的正弦和余弦分量系数为：⎰=Ttdt t x T a 01sin )(2ω （26）⎰=Ttdt t x T b 01cos )(2ω （27）基波分量的幅值和初相位分别为：21211b a X += 111a b arctg=α 根据数据窗的长度，在微机上实现式（26）和式（27）时可分为全波付氏算法和半波付氏算法。