Λ diag (1 , 2 ,, r ) ，那么， B XX ΓΛΓ 1/ 2 X ΓΛ
（10.6） （10.7）
即 bij X iX j 。由于，
1 1 n 2 1 n 2 1 2 bij (dij dij dij 2 2 n j 1 n i 1 n
1 n 2 1 n 2 n dij X iX i n X j X j n X iX j n j 1 j 1 j 1
（10.3）
1 n 1 n 2 1 ( n dij ) n2 n j 1 i 1
n n
2 dij i 1 j 1 n n
n
1 n 其中， X X i 。用矩阵表示为： n i 1
B (bij )nn
( X 1 X ) ( X 1 X , , X n X ) 0 ( X X ) n
这里，我们称 B 为 X 的中心化内积阵。 再来考虑充分性，如果假设 B 0 ，我们欲指出 X 正好为 D 的 一个构图，且 D 是欧氏型的。 记 1 2 r 为 B 的正特征根， 1 , 2 , , r 对应的单位 特征向量为 e1 , e2 , , er ，Γ (e1 , e2 , , er ) 是单位特征向量为 列组成的矩阵， X ( 1 e1 , 2 e2 , , r er ) ( xij ) nr ， 则 X 矩 阵 中 每 一行 对 应 空间 中 的 一个 点 ， 第 i 行 即 为 X i 。 令
第十章第一节 引言多维度法第二节 第三节第四节
古典多维标度法(Classical MDS) 权重多维标度(WMDS)
实例分析与计算实现
第一节 引 言
在实际中我们会经常遇到这些的问题，给你一组城市，你总
能从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城 市的距离，你能否确定这些城市之间的相对位置呢？假定你 知道只是哪两个城市最近，哪两个城市次近等等，你是否还 能确定它们之间的相对位置呢？假定通过调查了解了10种饮 料产品在消费者心中的相似程度，你能否确定这些产品在消 费者心理空间中的相对位置呢？在实际中我们常常会遇到类 似这样的问题。 多维标度法（Multidimensional Scaling）就是解决这类问题 的一种方法，它是一种在低维空间展示“距离”数据结构的 多元数据分析技术，简称MDS。 多维标度法起源于心理测度学，用于理解人们判断的相似性。 Torgerson拓展了Richardson及Klingberg等人在三、四十年 代的研究，具有突破性地提出了多维标度法，后经
（1） C C （2） cij cii
i, j 1, 2, , n
则矩阵 C 为相似系数阵， cij 称为第 i 点与第 j 点间的相似系数。
在进行多维标度分析时，如果数据是多个分析变量的原始数
据，则要根据聚类分析中介绍的方法，计算分析对象间的相 似测度；如果数据不是广义距离阵，要通过一定的方法将其 转换成广义距离阵才能进行多维标度分析。
美国10城市间的飞行距离
4 701 940 879 0 1374 968 1420 1645 1891 1220 5 1936 1745 831 1374 0 2339 2451 347 959 2300 6 604 1188 1726 968 2339 0 1092 2594 2734 923 7 748 713 1631 1420 2451 1092 0 2571 2408 205 8 2139 1858 949 1645 347 2594 2571 0 678 2442 9 2182 1737 1021 1891 959 2734 2408 678 0 2329 10 543 597 1494 1220 2300 923 205 2442 2329 0
整数 r 和 R r 中的 n 个点 X 1 , X 2 , , X n ，使得
2 dij ( X i X j )( X i X j )
i, j 1, 2,, n
则称 D 为欧氏距离阵 3．相似系数阵
定义 10.3 一个 n n 阶的矩阵 C (cij ) nn ，如果满足条件：
三、度量MDS的古典解
根据上述古典多维标度法的基本思想及方法，可给出求古典
2 dij ) i 1 j 1
n
n

i 城市与 j 城市之间的距离。那么，如果一个 n × n 的 距离阵 D 是欧氏距离阵的充要条件是 B 0 。 首先考虑必要性，设 D 是欧氏距离阵，则存在 X 1 , X 2 , , X n R r ，使得
d
2 ij 为
2 dij ( X i X j )( X i X j )
X iX i X j X j X j X i X iX j X iX i X j X j 2 X iX j
（10.1）
1 n 2 1 n 2 n dij X j X j n X iX i n X iX j （10.2） n i 1 i 1 i 1
定义10.1 一个n n阶的矩阵D=(dij ) n n ，如果满足条件：
（1） D D （2） dij 0, dii 0,
i, j 1, 2,, n
则矩阵 D 为广义距离阵， d ij 称为第 i 点与第 j 点间的距离。
定义 10.2 对于一个 n n 的距离阵 D ( d ) ， 如果存在某个正 ij nn
表10.1
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 587 1212 701 1936 604 748 2139 2182 543 2 587 0 920 940 1745 1188 713 1858 1737 597 3 1212 920 0 879 831 1726 1631 949 1021 1494
多维标度法内容丰富、方法较多。按相似性（距离）数据测
量尺度的不同MDS可分为：度量MDS和非度量MDS。当利 用原始相似性（距离）的实际数值为间隔尺度和比率尺度时 称为度量MDS(metric MDS)，当利用原始相似性（距离）的 等级顺序（即有序尺度）而非实际数值时称为非度量 MDS(nonmetric MDS)。按相似性（距离）矩阵的个数和 MDS模型的性质MDS可分为：古典多维标度CMDS（一个 矩阵，无权重模型）、重复多维标度Replicated MDS（几个 矩阵，无权重模型）、权重多维标度WMDS（几个矩阵， 权重模型）。本章仅介绍常用的古典多维标度法和权重多维 标度法。
2 dij ) i 1 j 1
n
n
1 2 n 2 n 2 n n (2 X iX j X iX j X iX j X iX j ) 2 n j 1 n i 1 n i 1 j 1
( X iX j X iX X X j X X ) ( X i X )( X j X )
我们假设有 n 个城市对应欧氏空间的 n 个点，其距离阵为
D ，它们所对应的空间的维数为 r ，第 i 个城市对应的点记 为 X i ，则 X i 的坐标记作 X i ( X i1 , X i 2 ,, X ir ) 。 设 B (bij ) nn ，其中：
1 1 n 2 1 n 2 1 2 bij (dij dij dij 2 2 n j 1 n i 1 n
n
1 1 2 X iX i X j X j X iX j n i 1 n j 1 n i 1 j 1
由（10.1）（10.2）（10.3）和（10.4）式，得知 、 、
（10.4）
1 1 n 2 1 n 2 1 2 bij (dij dij dij 2 2 n j 1 n i 1 n
据概念。 1．相似数据与不相似数据 相似数据：如果用较大的数据表示非常相似，用较小的 数据表示非常不相似，则数据为相似数据。如用10表示 两种饮料非常相似，用1表示两种饮料非常不相似。 不相似数据：如果用较大的数值表示非常不相似，较小 的数值表示非常相似，则数据为不相似数据，也称距离 数据。如用10表示两种饮料非常不相似，用1表示两种饮 料非常相似。 2．距离阵
通过上面的讨论我们知道，只要按公式（10.5）求出各个点 对之间的内积，求得内积矩阵 B 的 r 个非零特征值及所对应 的一组特征向量，据公式（10.7）即可求出 X 矩阵的 r 个列 向量或空间 n 个点的坐标。
这里需要特别注意，并非所有的距离阵都存在一个r维的欧
氏空间和n个点，使得n个点之间的距离等于D。因而，并不 是所有的距离阵都是欧氏距离阵，还存在非欧氏距离阵。 当距离阵为欧氏时，可求得一个D的构图X，当距离阵不是 欧氏时，只能求得D的拟合构图。在实际应用中，即使D为 欧氏，一般也只求r =2或3的低维拟合构图。 值得注意的是，由于多维标度法求解的n个点仅仅要求它们 的相对欧氏距离与D相近，也就是说，只与相对位置相近而 与绝对位置无关，根据欧氏距离在正交变换和平移变换下的 不变性，显然所求得解并不唯一。
1＝Atlanta , 2＝Chicago,
3＝Denver,
4＝Houston,
5＝Los Angeles
6＝Miami , 7＝New York, 8＝S an Francisco , 9＝Seattle, 10＝Washington. DC
一、相似与距离的概念
在解决上述问题之前，我们首先明确与多维标度法相关的数
二、古典多维标度分析的思想及方 法
用矩阵表示为 设 r 维空间中的 n 个点表示为 X 1 , X 2 , , X n ，
X ( X 1 , X 2 ,, X n ) 。在多维标度法中，我们称 X 为距离 ˆ 阵 D 的一个拟合构图， 求得的 n 个点之间的距离阵 D 称为 D ˆ ˆ 的拟合距离阵，D 和 D 尽可能接近。 如果 D D ， 则称 X 为 D 的一个构图。