pq
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题， 所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 q是p的必要条件？ (1) 若x=y，则x2=y2。
pq
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。 (3) 若a>b，则ac>bc。
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题， 所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。
例5、请用“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分也不必要”填空： 必要不充分 (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿条件 . 充要 (2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿＿＿条 件. 充分不必要 (3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿条件. 既不充分也不必要 (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四 边形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件.
4）若A=B ，则甲是乙的
A B
充分且必要条件
A =B
3 )
4 )
小结
充分必要条件的判断方法： 定义法、集合法、等价法（逆否命题）
例4．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件： 如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要 条件； 如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分 条件； 如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 充要 条件； 如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；
2）若A B且B A，则A是B的 3）若A B 且B A，则A是B的 4）A B且B A，则A是B的
从集合与集合的关系看充分条件、必要条件 1）若AB且BA，则甲是乙的 2）若A B且B A，则甲是乙的
1) B A 2) A
充分非必要条件 必要非充分条件
B
3）若A B且B A，则甲是乙的 既不充分也不必要条件
判别步骤：
① 认清条件和结论。 ② 考察p
判别技巧：
q和q
p的真假。
① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
从逻辑推理关系看充分条件、必要条件: 1） A B且 B A，则A是B的
充分非必要条件 必要非充分条件 既不充分也不必要条件 充分且必要条件
小结：
1、 定义1：如果已知p 定义2：如果已知q 定义3：如果既有p q，则说p是q的充分条件。 p，则说p是q的必要条件。 q，又有q p，就记作 p q，
则说p是q的充要条件。
2、充分条件、必要条件的四种形式: 1） A B且 B A，则A是B的
充分非必要条件
2）若A B且B A，则A是B的 3）若A B 且B A，则A是B的 4）A B且B A，则A是B的
注:1.“ p 是 q 的充要条件”也说成“ p 与 q 等价” 、 “ p 当且仅当 q ”等.
2. 充要条件是非常好的一种条件 ,因为可以相互等 价转化.
例3、下列各题中,那些p是q的充要条件?
(1)p: b=0, q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;
(2)P: x>0,y>0, (3)P: a>b,
如果“若 p , 则 q ”是真命题 ,且它的逆命题也 是真命题即 p q 且 p q , 我们就说, p 是 q 的充分必要条件 ,简称充要条件 .记为 p q .
显然 , 如果 p 是 q 的充要条件 , 那么 q 也是 p 的 充要条件 .概括地说 ,如果 p q ,那么 p 与 q 互为充要 条件.
则说p是q的充要条件。 2、从集合角度理解：
口诀:对于具体的数集,以条件集合为基础,小充分,大必要
①p ②q ③p q，相当于P Q ，即 p，相当于Q P ，即 P Q 或 P、Q Q P 或 P、Q P、Q 有它就行 缺它不行 同一事物
q，相当于P=Q ，即
p是q的各种条件的可能情况
1、充分且必要条件 2、充分非必要条件 3、必要非充分条件 4、既不充分也不必要条件
既不充分也不必要
练习、判断下列命题的真假： （1）x=2是x2 –4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件； （3）sin =sin 是 = 的充分条件； （4）ab = 0是a = 0的充分条件。
答：命题（1）为真命题：
命题（2）为真命题； 命题（3）为假命题； 命题（4）为真命题。
q: xy>0;
p q
.
q: a+c>b+c.
解：在(1)(3)中，p q, 所以(1)(3)中的p是q 的充要条件。在(2)中，q p，所以(2)中p的 不是q的充要条件。
归纳
1、 定义1：如果已知p q，则说p是q的充分条件。 定义2：如果已知q p，则说p是q的必要条件。 定义3：如果既有p q，又有q p，就记作 p q，
一、复习引入
3、例 :判断下列命题的真假。 （1）若x>a2+b2，则x>2ab 。 （2）若ab=0,则a=0。
解（1）因为若x>a2+b2 ，而a2+b2 得到 x>2ab 。
2ab，所以可以
真命题
（2）因为若ab=0 则应该有a=0 或b=0。 所以并不能得到a一定为0。
假命题
二、新课
高中选修《数学2-1》（新人教A版）
1.2.1充分条件与 必要条件
一、复习引入
1、命题：可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q。
2、四种命题及相互关系： 原命题 若 p则 q
互 否 互逆
逆命题 若 q则 p
互 否
互为
逆否
否命题 若 p则 q
互逆
逆否命题 若 q则 p
注：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
3、只要有p是q的充分条件就必有q是p的必要条件，但 不是p为q的必要条件。
简化定义：
如果已知p
q，则说p是q的充分
条件， q是p的必要条件。 例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 中的p是q的充分条件？ （1）若x=1，则x2 –4x+3=0； （2）若f（x）=x，则f（x）为增函数； （3）若x 为无理数，则x2 为无理数
如何正确理解p是q的充分条件与必要条件
1、充分条件的特征是：当p成立时，必有q成 立，但当p不成立时，未必有q不成立。因此 要使q成立，只需要条件p即可，故称p是q成 立的充分条件。
pq
2、必要条件的特征是：当q不成立时，必有p不 成立，但当q成立时，未必有p 成立。因此要使 p成立，必须具备条件q，故称q是p成立的必要 条件。
必要非充分条件 既不充分也不必要条件 充分且必要条件
四、作业
课本P12习题1.2－A组2T、3T 课本P13习题1.2－B组1T
1、如果命题“若p则q”为真，则记作p q（或q p）。
2、如果命题“若p则q”为假，则记作p
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q。
练习1 用符号
与
填空。
（1） x2=y2 x=y； （2）内错角相等 （3）整数a能被6整除 （4）ac=bc a=b
两直线平行； a的个位数字为偶数；
一般地, “若 p , 则 q ”为真命题 , 是指由 p 通过推理可以得出 q .
思考: “若 p , 则 q ” 的逆命题成立, p 是 q 的什么条件?
p 是 q 的必要条件.
就是说: 由 p q 可知 p 是 q 的必要条件， q 是 p 的充分条件.
通俗地说,就是“ p 被 q 推出”判断为 “ p 是 q 必要条件”.
思考: “若 p , 则 q ” 的原命题与逆命题均是真命题, p 是 q 的什么条件? q 是 p 的什么条件? p q 且 p q
并且说 p 是 q 的充分条件,说 q 是 p 的必要条件.
这时,我们就说,由 p 可推出 q ,记作 p q .
注 : 这里 充分 、必要 的意义 和日常 生活 中的 “充分”、 “必要”的意义是相近的. ⑴ p 是 q 的充分条件── 有 p 就可推出 q ; ⑵ q 是 p 的必要条件── 没有 q 就推不出 p .