学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下面四个条件中，使“a >b ”成立的充分条件是( )
A ．a >b ＋1
B ．a >b －1
C ．a 2>b 2
D ．a ＋1>b
【解析】 “p 的充分条件是q ”即“q 是p 的充分条件”，亦即“q ⇒p ”．因为a >b ＋1⇒a >b ，故选A.
【★答案★】 A
2．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件的( )
A ．m ＝－2
B ．m ＝2
C ．m ＝－1
D ．m ＝1 【解析】 由f (x )＝x 2＋mx ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋m 22
＋1－m 24， ∴f (x )的图像的对称轴为x ＝－m 2，由题意：－m 2＝1，
∴m ＝－2.
【★答案★】 A
3．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a >0的解集是R ，q ：－1<a <－12，则
p 是q 的( )
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．非充分也非必要条件
D ．不能确定
【解析】 p 所对应的集合为A ＝{a |－1<a <0}，q 所对应的集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ －1<a <－12， ∴B ⊆A ，∴q ⇒p ，∴p 是q 的必要条件．
【★答案★】 B
4．(2015·天津高考)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2>0”的() A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】|x－2|<1⇔1<x<3，x2＋x－2>0⇔x>1或x<－2.
由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，
所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．
【★答案★】 A
5．有下述说法：
①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件；②a＞b＞0是1
a＜
1
b的充要条件；③a＞b＞0
是a3＞b3的充要条件．
其中正确的说法有()
A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】a＞b＞0⇒a2＞b2，
a2＞b2⇒|a|＞|b|⇒/a＞b＞0，故①错．
a＞b＞0⇒1
a＜
1
b，但
1
a＜
1
b⇒/a＞b＞0，故②错．
a＞b＞0⇒a3＞b3，但a3＞b3⇒/a＞b＞0，故③错．【★答案★】 A
二、填空题
6．“cos α＝－
3
2”是“α＝
5
6π”的________条件．
【解析】α＝5
6π时，cos α＝－
3
2，反之不一定成立，故应是必要不充分
条件．
【★答案★】必要不充分
7．下列说法正确的是________．
①“两角相等”是“两角是对顶角”的充分条件；
②“一个平面过另一个平面的垂线”是“这两个平面垂直”的充分条件； ③“a ，b ，c 成等比数列”是“b 2＝ac ”的必要条件．
【解析】 因为“两角相等”⇒/“两角是对顶角”，①错；“a ，b ，c 成等比数列”⇒“b 2＝ac ”，③错．②正确．
【★答案★】 ②
8．直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1垂直的充要条件是________.
【导学号：63470008】
【解析】 l 1⊥l 2，则2×3＋m ×(－1)＝0，即m ＝6.
【★答案★】 m ＝6
三、解答题
9．已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若N 是M 的必要条件，求a 的取值范围．
【解】 由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1，
由x 2－5x －24<0，得－3<x <8，
∵N 是M 的必要条件，
∴M ⊆N ，
∴⎩⎨⎧
a －1≥－3，a ＋1≤8，
∴－2≤a ≤7.
即a 的取值范围是[－2,7]．
10．已知p ：ab ≠0，a ＋b ＝1；q ：ab ≠0，a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.求证：p 是q 的充要条件．
【证明】 ①先证充分性成立．
∵ab ≠0，a ＋b ＝1，
∴b ＝1－a .
∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2
＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2
＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0.
②再证必要性成立．
∵ab ≠0，
∴a≠0且b≠0.
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0.
∴(a2－ab＋b2)·(a＋b－1)＝0.
∵a2－ab＋b2≠0，
∴a＋b＝1.
由①②知，p是q的充要条件．
[能力提升]
1．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，
C＝{x∈R|x<0或x>2}，
∵A∪B＝C，
∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．
【★答案★】 C
2．若A：log2a<1，B：关于x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则A是B的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】由log2a<1，解得0<a<2；而方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零的充要条件是a－2<0，解得a<2.因为命题：“若0<a<2，则a<2”是真命题，而“若a<2，则0<a<2”是假命题，所以“0<a<2”是“a<2”的充分不必要条件，所以A是B的充分不必要条件，选A.
【★答案★】 A
3．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则“f (x )－f (－x )x
<0”是“2x >4”成立的________条件． 【解析】 f (x )<0即x >2；当x <0时，f (x )>0，即x <－2，∴x >2或x <－2；而2x >4⇔x >2，所以前者是后者的必要不充分条件．
【★答案★】 必要不充分
4．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .
【解】 依题意得a >0.由条件p ：|x －1|>a
得x －1<－a ，或x －1>a ，∴x <1－a ，或x >1＋a .
由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12，或x >1.
要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有
⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤12，1＋a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a <12，1＋a ≥1，解得a ≥12.
令a ＝1，则p ：x <0，或x >2，
此时必有x <12，或x >1.
即p ⇒q ，反之不成立．∴最小正整数a ＝1.。