x x
2 0 10 0
，
q
:{x
1
m
x
1
m,
m
0}，若
p
是
q
的必要不充分条件，求实
数 m 的取值范围.
分析：若 p 是 q 的必要不充分条件等价其逆否形式，即 q 是 p 的必要不充分条件.
解：由题知： p : P x 2 x 10 ， q : Q {x 1 m x 1 m, m 0}
是 Q 的必要条件；若集合 P Q ，则 P 是 Q 的充要条件．
.
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例 4.求证：关于 x 的方程 ax2 bx c 0 有一个根为－1 的充要条件是 a b c 0．
分析：充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性．
证明：必要性：若 x 1 是方程 ax2 bx c 0 的根，求证： a b c 0． Q x 1 是方程 ax2 bx c 0 的根， a (1)2 b (1) c 0 ，即 a b c 0． 充分性：关于 x 的方程 ax2 bx c 0 的系数满足 a b c 0，求证：方程有一根为－1． Q a b c 0， b a c ，代入方程得： ax2 (a c)x c 0 ， 得 (ax c)(x 1) 0 ， x 1 是方程 ax2 bx c 0 的一个根．
分析：从集合观点“小范围 大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.
解：等式性质易得
2.
x y xy 4.
4,
，反之不成立，若
x
1 2
，y
10
，有
x y xy 4.
4,
，
但
x y
2,
不成立，所以
2.
x y
2,
是
2.
x y xy 4.
4,
的充分不必要条件.
（ 2 ） 因 为 (x 4)(x 1) 0 的 解 集 为 [1, 4] ， x 4 0 的 解 集 为 (1, 4] ， 故 (x 4)(x 1) 0 是 x 1
.
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x 4 0 的必要不充分条件. x 1
（3）当 时， tan, tan 均不存在；当 tan tan 时，取 ， 5 ，但 ，
q”都是真命题. q”为真命题.
4、充要条件的判断方法： 四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么， 结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法，集合思想）；⑶ 确定条件是结论的什么条件. 【典型例题分析】 例 1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
Q p 是 q 的必要不充分条件， q 是 p 的必要不充分条件.
1 m 2, P Ø Q ，即 1 m 10, 得 m 9 .
m 0. 故 m 的取值范围为 m 9 .
点评：对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包
含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：若集合 P Q ，则 P 是 Q 的充分条件；若集合 P Q ，则 P
（1）
x y
2,
是
2.
x y xy 4.
4,
的___________________条件；
（2） (x 4)(x 1) 0 是 x 4 0 的___________________条件； x 1
（3） 是 tan tan 的___________________条件；
（4） x y 3 是 x 1或 y 2 的___________________条件.
故原命题成立． 点评：在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：充分性和必要性，缺一不可
【小结】 1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件． 2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：
若集合 P Q ，则 P 是 Q 的充分条件； 若集合 P Q ，则 P 是 Q 的必要条件； 若集合 P Q ，则 P 是 Q 的充要条件．
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1.2 充分条件与必要条件
教学目标
1） 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义； 2） 会判断充分条件，必要条件和充要条件． 3） 从集合的观点理解充要条件。 4） 会证明简单的充要条件的命题。
重 点 充分条件，必要条件和充要条件的判断．
难 点 充要条件的理解和充要条件的命题的证明。 【知识点梳理】
例 2.已知 p，q 都是 r 的必要条件，s 是 r 的充分条件，q 是 s 的充分条件，则 p 是 s 的_________条件.
分析：将各个命题间的关系用符号连接，易解答.
解：
p r q
s
故 p 是 s 的的充要条件. 点评：将语言符号化，可以起到简化推理过程的作用.
例
3.已知
p : x
2
4
4
所以 是 tan tan 的既不充分也不必要条件.
（4）原问题等价其逆否形式，即判断“ x 1 且 y 2 是 x y 3 的____条件”，故 x y 3 是 x 1或
y 2 的充分不必要条件.
点评：①判断 p 是 q 的什么条件，实际上是判断“若 p 则 q”和它的逆命题“若 q 则 p”的真假，若原 命题为真，逆命题为假，则 p 为 q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则 p 为 q 的必要不 充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则 p 为 q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则 p 为 q 的 既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若 p 则 q”的真假困难时，则可以判断 它的逆否命题“若 q 则 p”的真假.
1、命题“若 p 则 q”为真，记作 p q；“若 p 则 q”为假，记作“p > q”.
2、充分与必要条件：
①如果已知 p q，则称 p 是 q 的充分条件，而 q 是 p 的必要条件.
②如果既有 p q，又有 q q，即 p q,则称 p 是 q 的充要条件.
3、充分、必要条件与四种命题的关系： ①如果 p 是 q 的充分条件，则原命题“若 p 则 q”以及逆否命题“若 p 则 ②如果 p 是 q 的必要条件，则逆命题“若 q 则 p”以及否命题“若 p 则 ③如果 p 是 q 的充要条件，则四种命题均为真命题。