乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。
(l) 第一列所有系数均不为零的情况
第一列所有系数均不为零时，劳斯判据指出，
特征方程式的实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。
方程式的
根全部在复平面的左半平面的充分必要条件是， 方程式的各项系数全部为正值， 并且劳斯表
8
的第一列都具有正号。 例如， 三阶系统的特征方程式为
c( )
3. 调整时间 ts t s (5%) t s (2%)
1
1
[3 ln(1
2 )]
n
2
1
1
[ 4 ln(1
2 )]
n
2
3 ，0
n
4 ，0
n
0.707 0.707
图 3-13 二阶系统单位阶跃响应的一对包络线
图 3-14 调节时间和阻尼比的近似关系
6
根据以上分析， 二阶振荡系统特征参数 ζ和 ω n 与瞬态性能指标 (δ
4. 振荡次数 μ
在调整时问 ts 之内，输出 c(t) 波动的次数称为振荡次数 μ，显然
ts tf
2 式中 t f
d
2
，称为阻尼振荡的周期时间。
n1
2
1 s 2T 2 S2 2TS 1
这一系统的单位阶跃响应瞬态特性指标为：
最大超调百分数
% e ( / 1 2 ) 100% 4.3%
上升时间
调整时间
4. 无阻尼 (ζ ＝ 0)
其时域响应为 在这种情况下，系统的响应为等幅
Cs
2
n
s(s2
2 n
)
c t 1 cos nt
(不衰减 )振荡，
5
图 ζ＝ 0 时特征根的分布
图 ζ＝ 0 时二阶系统的阶跃响应
5. 负阻尼（ ζ＜ 0）
当 ζ ＜0 时，特征根将位于复平面的虚轴之右，其时域响应中的
e 的指数将是正的时间
tr
由此式可见，阻尼比 ζ越小，上升时间 t r 越小，反之则 t r 越大。
d
n1
2
tr 则越小； ζ 越大则 t r 越大。固有频率 ω n 越大，
2. 峰值时间 tp 及最大超调量 M p
tp
d
n1
2
最大超调量 最大超调百分数
M p cmax c( ) e ( / 1 2 ) c % cmax c( ) e ( / 1 2 ) .100%
第 3 章 辅导
控制系统典型的输入信号
1. 阶跃函数
阶跃函数的定义是
xr ( t)
0, t 0 A, t 0
式中 A 为常数。 A 等于 1 的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。它表示为
单位阶跃函数的拉氏变换为
xr(t) ＝ l(t) ，或 xr(t)=u(t)
X r(s)=L[1(t)]=1/s 在 t＝ 0 处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当
于给定值突然变化或者突然变化的扰动量； 对于随动系统， 相当于加一突变的给定位置信号。
2. 斜坡函数
这种函数的定义是
xr (t)
0, t 0 At, t 0
式中 A 为常数。该函数的拉氏变换是 X r(s)=L[At]=A/s 2
这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，
称为单位斜坡函数，如图所示。
s
Kk s2 s K k
Kk 4
与二阶系统标准形式的传递函数
2
s
n
s2 2 n s
2 n
对比得： (1) 固有频率
n
Kk
42
(2) 阻尼比 (3) 超调
由2 %
n 1得 e ( / 1 2 )n
1 2n
100%
0.25 47%
(4) 调整时间 t s 5%
3 6s
n
当要求
1
1
时，由 2 n 1 得 n
劳斯表为
s4
1
11
s3
2
20
s2 ( 0) 1
s1
2 2
0
s
1
现在观察第一列中的各项数值。当
ε 趋近于零时， 2
2
的值是一很大的负值，因此可
以认为第一列中的各项数值的符号改变了两次。 由此得出结论， 该系统特征方程式有两个根 具有正实部，系统是不稳定的。
如果零 (ε )上面的系数符号与零 ( ε)下面的系数符号不变， 则表示系统有纯虚根。 例如，
3
一阶系统的阶跃响应
一. 一阶系统的数学模型
由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。一些控制元部件及简单系统如 发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。
因为单位阶跃函数的拉氏变换为 R(s)=1/s，故输出的拉氏变换式为
RC 网络、
C (s)
取 C(s)的拉氏反变换得
1 11 T (s) R( s)
1
。
2 nTm
二阶系统的闭环特征方程为
其特征根为
s2 +2ζ ω ns+ω 2n=0
4
s1,2
21 n
1. 临界阻尼 (ζ=1)
其时域响应为
上式包含一个衰减指数项。
c t 1 e nt (1 nt)
c(t) 为一无超调的单调上升曲线，如图
3-8b 所示。
(a)
(b)
(c)
ζ≥ 1 时二阶系统的特征根的分布与单位阶跃响应
2. 过阻尼 (ζ ＞ 1)
具有两个不同负实根 [ s1 , s2 (
2 1) n ] 的惯性环节单位阶跃响应拉氏变换
式。其时域响应必然包含二个衰减的指数项，其动态过程呈现非周期性，没有超调和振荡。
图为其特征根分布图。
3. 欠阻尼（ 0<ζ ＜1）
图 3-9 0<ζ ＜ 1 时二阶系统特征根的分布
图 3-10 欠阻尼时二阶系统的单位阶跃响应
,K k
2
2
2 n
0.5
可见该系统要满足工程最佳参数的要求， 值将增大系统的误差。
须降低开环放大系数 K k 的值。 但是， 降低 K k
7
劳斯稳定判据
将系统的特征方程式写成如下标准式
a0 sn a1 sn 1 a2 sn 2
an 1 s an 0
将各系数组成如下排列的劳斯表
sn a0 a2 a4 a6 sn 1 a1 a3 a5 a7 sn 2 b1 b2 b3 b4 s n 3 c1 c 2 c3 c4
s5 1 1 4 s4 2 3 5 s3 1 3 0 s2 9 5 0 s1 32 s0 5
由上表可以看出，第一列各数值的符号改变了两次，由
+2 变成 -1，又由 -1 改变成 +9 。
因此该系统有两个正实部的根，系统是不稳定的。
(2) 某行第一列的系数等于零而其余项中某些项不等于零的情况
在计算劳斯表中的
零的一项， 这表示在 s 平面内存在一些大小相等但符号相反的特征根。
在这种情况下，
可利用全零行的上一行各系数构造一个辅助方程，式中
s 均为偶次。将辅助方程对 s 求导，
用所得的导数方程系数代替全零行， 然后继续计算下去。 至于这些大小相等， 符号相反的根，
可以通过解辅助方程得到。
系统特征方程式为
s6 2s5 8 s4 12s3 20 s2 16s 16 0
函数，因而 e nt 为发散的，系统是不稳定的。
显然， ζ ≤ 0 时的二阶系统都是不稳定的，
而在 ζ ≥ 1 时，系统动态响应的速度又太慢，
所以对二阶系统而言， 欠阻尼情况是最有实际意义的。 下面讨论这种情况下的二阶系统的动
态性能指标。
欠阻尼二阶系统的动态性能指标
1. 上升时间 tr
上升时间 tr 是指瞬态响应第一次到达稳态值所需的时间。
各元素的数值时， 如果某行的第一列的数值等于零， 而其余的项中某些项不等于零， 那么可
以用一有限小的数值 ε 来代替为零的那一项， 然后按照通常方法计算阵列中其余各项。 如果
零 (ε )上面的系数符号与零 (ε )下面的系数符号相反，则表明这里有一个符号变化。
例如，对于下列特征方程式
s4 2 s3 s2 2s 1 0
试用劳斯判据判断系统的稳定性。
解
劳斯表中的
6
3
s ～ s 各项为
s6 1 8 20 16
s5 2 12 16 0 s4 1 6 8
s3 0 0 0
由上表可以看出， s3 行的各项全部为零。为了求出 s3 - s0 各项，将 s4 行的各项组成辅
助方程为
A(s) s4 6s2 8
将辅助方程 A(s) 对 s 求导数得
a0 s3
列出劳斯表为
s3 s2 s1
s0
则系统稳定的充分必要条件是
a1s2 a2 s a3 0
a0
a2
a1
a3
a1a2 a0a3
a1 a3
a0 0 ， a1 0 ， a2 0 ， a3 0 ， ( a1a2 a0 a3 ) 0
系统的特征方程为
s5 2s4 s3 3s2 4 s 5 0
试用劳斯判据判断系统的稳定性。 解 计算劳斯表中各元素的数值，并排列成下表
在 t＝ t0 处的单位脉冲函数用 δ (t-t0)来表示，它满足如下条件 幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。 单位脉冲函数 δ (t) 可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即 反之，单位脉冲函数 δ (t)的积分就是单位阶跃函数。
控制系统的时域性能指标
表中的有1
so g 1
b1 a1a2 a0a3 a1
b2 a1a4 a0 a5 a1