学号数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：姓名：指导教师：2012年5月数项级数和函数项级数及其收敛性的判定摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。

关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.Several series and Function of series and the judgment of theirconvergenceAbstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method.Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method前 言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。

判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。

所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。

1 正项级数及其收敛性一系列无穷多个数123,,,,,n u u u u 写成和式123n u u u u ++++就称为无穷级数，记为1n n u ∞=∑。

如果()0,1,2,3,n u n ≥=，那么无穷级数1n n u ∞=∑,就称为正项级数。

若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1lim lim ,nn k n n k S u S →∞→∞===∑则称级数1n n u ∞=∑收敛，记为1,nn uS ∞==∑并称此值S 为级数的和数。

若部分和数列n S 发散，则称级数1n n u ∞=∑发散。

当级数收敛时，又称1231n n kn n n k n r S S uu u u ∞+++=+=-==+++∑为级数的余和。

1.1 几种不同的判别法1.11 正项级数收敛的充要条件 部分和数列{}n S 有界，即存在某正数M ，有<M 。

例1 =112(1+)(1+)(1+)nn n a a a a ∞∑…分析：本题无法使用根式判别法、比式判别法，或比较判别法以及其他的判别法进行判断，因此选用充要条件进行判断。

所以级数收敛.定理1.12 柯西收敛原理[1]级数1n n u ∞=∑收敛的充要条件是：对任意给定的正数ε，总存在N ，使得当n N >时，对于任意的正整数1,2,3,p =，都成立的12.n n n p u u u ε++++++<对于正项级数1n n u ∞=∑，由于0n u >，因此，只要12n n n p u u u ε++++++<即定理1.13 比较判别法设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N 都有n n u v ≤，那么（1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；（2）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散；即1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑同时收敛或同时发散；。

比较判别法的极限形式 ：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数。

若limnn nu v →∞=l ，则 （1）当0<l <1时，n 与n 同时收敛或同时发散；（2）当l =0且级数n 收敛时，n也收敛；（3）当且n发散时，n 也发散。

例2 1!2!+n (2)!n u n ++=…！分析：本题无法使用根式判别法和比式判别法，因此选择比较判别法进行判断所以级数收敛定理1.14 比式判别法n+10i=1(1)n>N ,,n n n u q u u ≤∑若对一切成立不等式则级数收敛n +10i=1(2)n>N ,1,n n n u u u ≥∑若对一切成立不等式则级数发散比式判别法的极限形式： 若1n n u ∞=∑为正项级数，则例3[3](1)12(1)1n 211limlim 22lim lim 20n n n nn n n n nuu ---→∞→∞-+-+→∞→∞===∑级数收敛不可使用比式判别法无法判断敛散性因此，当我们观察级数的一般项的极限趋近于时，我们可以选用比式判别法或根式判别法。

定理1.14 根式判别法根式判别法的极限形式： 设是正项级数，且n l ，则（1）当l <1时，级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当l >1时，级数1n n u ∞=∑发散。

定理1.15 积分判别法设()f x 为[1,)∞上非负递减函数，那么正项级数()f n ∑与反常积分1()f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散。

定理1.16 拉贝判别法设1n n u ∞=∑是正项级数，且存在自然数0N 及常数r ，拉贝判别法的极限形式：（1）当r 时，级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当时，级数1n n u ∞=∑发散。

（3）当时，拉贝判别法无法判断定理1.17 阿贝尔判别法若数列0n a >，0n b >，且{}n a 为单调有界数列，级数1n n b ∞=∑收敛，则级数1n n n a b ∞=∑收敛。

例4]4]113135224246ppp⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析：本题中的通项(21)!!(2)!!n n u n -=含有阶层，但不能使用根式判别法和比式判别法进行判定，因此选用拉贝尔判别法。

12221pn n u n u n ++⎛⎫= ⎪+⎝⎭12,.2p p ∴>>当，即级数收敛1221111()12121lim 1lim lim11pp n n n n n n u n n n n u n n ο→∞→∞→∞++⎛⎫-++- ⎪⎛⎫+⎝⎭+-== ⎪⎝⎭=2p定理1.18 狄利克雷判别法若数列0n a >，0n b >，且数列{}n a 单调递减，lim 0n n a →∞=，又级数1n n b ∞=∑的部分和数列有界，则级数1n n n a b ∞=∑收敛。

例5sin(∑[5].分析：本题型如sin()n u ∑，n u 为任意函数，则可以选用狄利克雷判别法。

因此，级数收敛定理1.19 伯尔特昂（Bertrand ）判别法 设1n n u ∞=∑是正项级数，且，若lim n n B B →∞=，则（1）当B>1时，级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当B<1时，级数1n n u ∞=∑发散。

定理2.20 对数判别法1.2级数收敛的新方法——导数判定法 我们知道,若任意项无穷级数12n a a a ++++(1)的每一项的绝对值所成的正项级数12||||||n a a a ++++(2)的收敛的，则称原级数（1）绝对收敛。

对于任意项级数（1）是否绝对收敛，可以利用正项级数的诸种判别法来对（2）进行考察.例如可以应用比较法及其极限形式，比值判别法以及根值判别法等等.本人试图提供一种新的任意项级数绝对收敛的判别法即导数判别法，它给出了任意项级数绝对收敛的一个充分必要条件，这个判别法对于判别某些任意级数是否绝对收敛非常方便。

1.21 导数判别法定理及推论定理(导数判别法)设1n n u ∞=∑为实数项的任意项级.令f(x)是一个是函数，对所有的正整数n使得()n b f a a n +=,22(,b 0d ya b dx ≠为常数且）且在n 1n x a a ∞==∑出存在，那么级数绝对收敛的充分必要条件是'()()0f a f a ==.证明:此判别法的证明依赖于罗必塔法则和比较判别法原则因为由定理 的假设条件知在x a =处22d ydx存在，所以在x a =的某个领域内是可导的(显然'()f x 在x=a 处也连续)。

又由假设条件知对所有的正整数n ，f(x)必须满足11().n n n ba f a n ∞∞===+∑∑ 先证必要性：设任意级数1n n a ∞=∑是绝对收敛的，则由()f x 在x=a 处连续知，lim lim ()lim ()()n n n x n ba f a f n f a n →∞→∞→=+==，从而()0f a =。

再假设'()0f a k =≠，由洛比达法则得，从而就证明了'()()f a f a ==0是任意项级数1n n a ∞=∑绝对收敛，则必有'()f a 0≠.从而就证明了'0()limlim ()(0)x ax f x f a k x a →→==≠- 既有：||lim||(0)||n n a k bn→∞=≠因为调和级数1||n b n ∞=∑(0)b ≠也是发散的，因此油比较判别法的极限形式知级数1n n a ∞=∑绝对收敛，则必有'()0f a =，从而就证明了'()()0f a f a ==是任意级数1n n a ∞=∑绝对收敛的必要条件。

再证充分性：假设'()()0,01f a f a p ==<<令并讨论下列极限：''11()1()()lim lim ()()1pp x a x a f x f x f a x a x a p x a ++-+→→-=∙--+-=''11()()lim lim()01pn a x a f x f a x a p x a ++-→→-∙∙-=+-从而1||lim0||()n n pa b n→∞+=.证明完毕，特殊的，在定理中a=0，b=1时有：推 论 设1n n a ∞=∑为是实数项的任意项级数，令()f x 为一实函数，对所有的正整数n 使得1()n f a n =，且22d ydx 在x=0处存在，那么任意项级数1n n a ∞=∑绝对收敛的充分必要条件是'()()0f a f a == 1.22特殊例子例6判断下列级数是否绝对收敛[6].213ln(2)n nn ∞=+∑解：（1）令223ln(2)13(=2)ln ,(2)9n n f x x x f a n n +-+==）（从而，因为 2'(2)ln 29f =,(2)'(2)0f f ==.由导数判别法知级数213ln(2)n n n ∞=+∑是绝对收敛的。